In matematica, la regola di Pascal (o formula di Pascal) è un'identità combinatoria sui coefficienti binomiali. I coefficienti binomiali sono i numeri che compaiono nel triangolo di Tartaglia (noto anche come triangolo di Pascal). La regola di Pascal afferma che, per ogni coppia di interi positivi e ,
dove è il coefficiente binomiale, cioè il coefficiente del termine nello sviluppo del polinomio . Non ci sono restrizioni sulle grandezze relative di e ; in particolare, la suddetta identità rimane valida quando , poiché ogni volta che .
Insieme alle condizioni al contorno per tutti gli interi non negativi , la regola di Pascal determina che
per tutti gli interi . In questo senso, la regola di Pascal è la relazione di ricorrenza che definisce i coefficienti binomiali.
La regola di Pascal può anche essere generalizzata per essere applicata ai coefficienti multinomiali.
Dimostrazione combinatoria
La regola di Pascal ha un significato combinatorio intuitivo, che è chiaramente espresso in questa dimostrazione per conteggio.
Dimostrazione. Si ricordi che è pari al numero di sottoinsiemi di elementi estratti da un insieme di elementi. Supponiamo che un particolare elemento sia etichettato in modo univoco con in un insieme di elementi.
Per costruire un sottoinsieme di elementi che contenga , includiamo e scegliamo elementi tra i restanti elementi dell'insieme. Ci sono sottoinsiemi di questo tipo.
Per costruire un sottoinsieme di elementi che non contenga , scegliamo elementi tra i restanti elementi dell'insieme. Ci sono sottoinsiemi di questo tipo.
Ogni sottoinsieme di elementi o contiene oppure non lo contiene. Il numero totale di sottoinsiemi con elementi presi da un insieme di elementi è la somma del numero di sottoinsiemi che contengono e del numero di sottoinsiemi che non lo contengono, ovvero .
Questo totale è uguale a ; pertanto, .
Dimostrazione algebrica
In alternativa, segue la derivazione algebrica per il caso binomiale.
Una dimostrazione algebrica alternativa utilizza la definizione alternativa dei coefficienti binomiali: . Infatti:
Poiché è utilizzata come definizione estesa del coefficiente binomiale quando è un numero complesso, questa dimostrazione algebrica alternativa mostra che la regola di Pascal è valida più in generale quando è sostituito da un qualsiasi numero complesso.
Generalizzazione La regola di Pascal può essere generalizzata ai coefficienti multinomiali. Per ogni intero tale che , con e ,
dove è il coefficiente del termine nello sviluppo di .
La derivazione algebrica per questo caso generale è la seguente. Sia un intero tale che , con e . Allora:
Note
Bibliografia
Voci correlate Triangolo di Tartaglia
Collegamenti esterni
Coefficiente binomiale centrale, su PlanetMath. Coefficiente binomiale, su PlanetMath.
Categoria:Identità matematiche