În algebră un inel semiprimitiv sau inel semisimplu Jacobson este un inel al cărui este zero. Acesta este un tip de inel mai general decât un inel semisimplu, dar unde oferă încă suficiente informații despre inel. Inele precum inelul numerelor întregi sunt semiprimitive, iar un inel artinian semiprimitiv este un inel semisimplu.
Definiție Un inel este numit semiprimitiv sau semisimplu Jacobson dacă radicalul său Jacobson este un ideal nul.
Un inel este semiprimitiv dacă și numai dacă are un stâng fidel. Proprietatea semiprimitivă este simetrică stânga-dreapta, deci un inel este semiprimitiv dacă și numai dacă are un modul semisimplu drept fidel.
Un inel este semiprimitiv dacă și numai dacă este un produs subdirect de inele primitive stângi.
Un inel comutativ este semiprimitiv dacă și numai dacă este un produs subdirect de corpuri comutative.Lam, 1995, p. 137
Un inel artinian stâng este semiprimitiv dacă și numai dacă este semisimplu.Lam, 1995, p. 54 Astfel de inele sunt uneori numite inele semisimple artiniene.Kelarev, 2002, p. 13
Exemple Inelul numerelor întregi este semiprimitiv, dar nu semisimplu. Orice inel primitiv este semiprimitiv. Produsul a două corpuri comutative este semiprimitiv, dar nu primitiv. Orice este semiprimitiv.
Nathan Jacobson însuși a definit un inel ca fiind semisimplu dacă și numai dacă este un produs subdirect de inele simple,Jacobson, 1989, p. 203. Totuși, aceasta este o noțiune mai strictă, deoarece al unui spațiu vectorial infinit numărabil dimensional este semiprimitiv, dar nu este un produs subdirect de inele simple.Lam, 1995, p. 42
Note
Bibliografie
Vezi și Inel primitiv Ideal primitiv
Categorie:Teoria inelelor Categorie:Structuri algebrice