Metoda replicilor

În mecanica statistică a sticlelor de spin și a altor sisteme cu dezordine înghețată (quenched disorder), metoda replicilor (în engleză: replica trick) este o tehnică matematică bazată pe aplicarea formulei

sau echivalent

unde este de obicei sau o funcție termodinamică similară.

Metoda este utilizată frecvent pentru a simplifica calculul mărimii , adică a lui . Problema se reduce astfel la calculul mediei dezordinii , unde este presupus inițial un număr întreg. Din punct de vedere fizic, aceasta corespunde medierii asupra a copii identice ale sistemului, numite replici, de unde și denumirea metodei.

Elementul esențial al metodei replicilor este că media asupra dezordinii se calculează presupunând întreg, însă pentru a recupera logaritmul mediat trebuie ca să tindă continuu la zero. Această aparentă contradicție nu a fost încă rezolvată riguros din punct de vedere matematic. Totuși, în toate cazurile în care metoda replicilor poate fi comparată cu alte soluții exacte, rezultatele coincid. O justificare matematică suficientă ar fi verificarea condițiilor , în special că raportul este de tip mai mic decât .

În unele situații este necesară introducerea proprietății de (replica symmetry breaking, RSB) pentru a obține rezultate fizice corecte, fenomen asociat cu încălcarea .

Formulare generală

Metoda este utilizată în general în calcule care implică funcții analitice (care pot fi dezvoltate în serie de puteri).

Ideea este de a dezvolta într-o serie de puteri în , interpretate ca replici ale variabilei, și de a efectua calculele dorite folosind aceste puteri.

Un caz deosebit de important în fizică apare la calculul mediei energiei libere termodinamice,

peste valorile parametrilor distribuite conform unei anumite distribuții de probabilitate, de obicei gaussiene.

În acest caz, este

Dacă am calcula doar (sau o putere a lui ), integrala rezultată ar fi

adică o standard, care poate fi calculată ușor (de exemplu prin ).

Pentru a calcula energia liberă se utilizează însă metoda replicilor,care transformă problema dificilă a medierii logaritmului într-un calcul mai simplu al unei integrale gaussiene, cu condiția ca să fie tratat inițial ca număr întreg.

Metoda presupune că dacă poate fi calculat pentru toate valorile întregi pozitive ale lui , atunci comportamentul limitei pentru poate fi dedus prin continuare analitică.

În practică, realizarea acestei limite introduce subtilități matematice semnificative.

În cadrul , efectuarea limitei necesită adesea introducerea unor parametri de ordine suplimentari, fenomen cunoscut drept rupere a simetriei replicilor.

Aplicații fizice

Trucul replicilor este utilizat pentru determinarea stărilor fundamentale ale sistemelor din mecanica statistică, în cadrul . Pentru sistemele în care starea fundamentală poate fi determinată ușor, se pot analiza fluctuațiile în jurul acesteia; în alte cazuri se recurge la metoda replicilor.

Un exemplu important este cel al sistemelor cu dezordine înghețată, precum sticlele de spin, în care diferite tipuri de legături magnetice dintre spini conduc la un număr mare de configurații ale sistemului cu aceeași energie.

În fizica statistică a sistemelor cu dezordine înghețată, două stări cu aceeași realizare a dezordinii (de exemplu aceeași distribuție de legături feromagnetice și antiferomagnetice) sunt numite replici una ale celeilalte.

Pentru astfel de sisteme se așteaptă ca mărimile macroscopice să fie auto-mediate. Aceasta înseamnă că valoarea unei mărimi macroscopice pentru o realizare particulară a dezordinii coincide cu media asupra tuturor realizărilor posibile ale dezordinii.

În cazul sticlelor de spin, energia liberă pe spin în devine independentă de valorile specifice ale cuplajelor feromagnetice și antiferomagnetice dintre nodurile rețelei. Energia liberă se calculează ca funcție de parametrii dezordinii și apoi se face media asupra tuturor realizărilor posibile ale acesteia:

Aici descrie dezordinea sistemului (de exemplu tipul interacțiunii magnetice dintre nodurile și ).

REM: cel mai simplu exemplu de problemă cu replici

Modelul energiei aleatorii (REM) este unul dintre cele mai simple modele ale fizicii statistice a sistemelor dezordonate și probabil cel mai simplu model care ilustrează semnificația și puterea metodei replicilor până la primul nivel al rupere a simetriei replicilor. Modelul este potrivit pentru introducerea metodei deoarece rezultatul exact este cunoscut printr-o procedură diferită și poate fi verificat prin compararea rezultatelor.

Metode alternative

Metoda cavității este o metodă alternativă, adesea mai simplă decât metoda replicilor, pentru studiul problemelor dezordonate de tip câmp mediu. Ea a fost dezvoltată pentru modele definite pe grafuri local arborescente.

O altă alternativă este metoda supersimetrică, care oferă o formulare matematică riguroasă pentru unele clase de probleme, deși aplicabilitatea sa este limitată la sisteme neinteracționante.Supersymmetry in Disorder and Chaos, Konstantin Efetov, Cambridge University Press, 1997.

De asemenea, s-a arătat că poate constitui o alternativă viabilă la abordarea prin replici.A. Kamenev and A. Andreev; C. Chamon, A. W. W. Ludwig, and C. Nayak.

Observații

Prima identitate poate fi înțeleasă ușor folosind seria Taylor:

Pentru a doua identitate se folosește definiția derivatei:

Note

Bibliografie S Edwards (1971), "Statistical mechanics of rubber". In Polymer networks: structural and mechanical properties, (eds A. J. Chompff & S. Newman). New York: Plenum Press, ISBN 978-1-4757-6210-5.

Studii despre sticlele de spin

Cărți despre sticlele de spini

Referințe la alte abordări

Categorie:Mecanică statistică