În fizica materiei condensate, o sticlă de spin (spin glass) este o stare magnetică caracterizată prin dezordine și prin înghețarea cooperativă a spinilor la o temperatură numită temperatura de înghețare, .
În solidele feromagnetice, spinurile magnetice ale atomilor tind să se alinieze în aceeași direcție. În schimb, într-o sticlă de spin, spinurile sunt orientate aleatoriu sau fără un tipar regulat, iar cuplajele dintre ele sunt și ele aleatorii.
Termenul „sticlă” provine din analogia dintre dezordinea magnetică dintr-o sticlă de spin și dezordinea pozițională dintr-o sticlă chimică obișnuită (de exemplu sticla de fereastră). În sticla amorfă structura legăturilor atomice este foarte neregulată, pe când într-un cristal legăturile au un aranjament periodic. În mod similar, într-un solid feromagnetic spinurile sunt aliniate, analog structurii ordonate a unei rețele cristaline.
Într-o sticlă de spin, legăturile magnetice dintre atomi sunt un amestec aproximativ egal de legături feromagnetice (în care spinurile vecine au aceeași orientare) și antiferomagnetice (în care spinurile vecine au orientări opuse). Aceste combinații de interacțiuni conduc la ceea ce se numește interacțiuni frustrate, adică incompatibilități geometrice în aranjamentul spinurilor comparativ cu un solid complet ordonat. În astfel de sisteme pot exista mai multe configurații stabile ale spinurilor cu energii similare.
Sticlele de spin pot fi privite din două perspective principale. Din punct de vedere fizic, ele sunt materiale reale cu proprietăți magnetice distincte, studiate intens experimental. Din punct de vedere matematic, modelele simple din mecanica statistică inspirate de aceste sisteme sunt studiate pe scară largă și au aplicații în multe domenii.
Structurile interne complexe care apar în sticlele de spin sunt numite , deoarece sistemul rămâne blocat în configurații stabile care nu corespund stării de energie minimă (care ar fi o stare feromagnetică complet aliniată). Complexitatea matematică a acestor structuri este dificil de analizat, dar a condus la rezultate importante atât în experimente, cât și în , cu aplicații în fizică, chimie, știința materialelor și chiar în rețele neurale.
Comportament magnetic
Metodele principale de identificare a unei sticle de spin se bazează pe comportamentul său magnetic. Din cauza structurii dezordonate a momentelor magnetice, se așteaptă ca aceste sisteme să prezinte o combinație caracteristică de proprietăți. Mydosh a propus un set de criterii experimentale pentru identificarea sticlelor de spin:
Susceptibilitatea magnetică alternativă descrie răspunsul sistemului la un câmp magnetic alternativ. Ea conține o componentă în fază și una în antifază . Într-o sticlă de spin, prezintă un maxim pronunțat la temperatura de înghețare .
dependentă de temperatură în starea înghețată depinde de istoricul magnetic al probei. Apare o diferență clară între magnetizarea măsurată după răcire în câmp magnetic (field cooled, FC) și cea obținută după răcire fără câmp (zero-field cooling, ZFC).
Capacitatea termică masică magnetică prezintă un maxim larg și dependent de câmp la , spre deosebire de transformările către stări ordonate (feromagnetice sau antiferomagnetice), unde vârful este ascuțit.
Din cauza dezordinii structurale, stările magnetizate se relaxează în timp. Sistemul îmbătrânește (aging), iar magnetizarea scade gradual către zero.
Deasupra temperaturii de transformare , sticla de spin prezintă un comportament magnetic obișnuit, de tip paramagnetic.
Modelul Edwards–Anderson
Un model teoretic important pentru sticlele de spin este modelul Edwards–Anderson, similar cu modelul Ising. În acest model, spinurile sunt plasate pe o rețea -dimensională și interacționează doar cu vecinii apropiați.
Hamiltonianul sistemului este
unde reprezintă spinul la nodul , iar suma se face peste perechi de vecini . Parametrul descrie tipul interacțiunii dintre spinuri: valori negative corespund interacțiunilor antiferomagnetice.
Pentru a determina a sistemului trebuie calculată media energiei libere
unde
Variabilele sunt considerate variabile aleatorii distribuite gaussian cu medie și varianță :
Aplicând metoda replicilor pentru calculul energiei libere se arată că sub o anumită temperatură apare o nouă fază magnetică — faza de sticlă de spin — caracterizată prin magnetizare nulă
dar printr-o corelație nenulă între spinurile din replici diferite
Parametrul de ordine pentru transformarea către faza de sticlă de spin este astfel , iar descrierea completă a fazelor magnetice implică doi parametri de ordine: magnetizarea și suprapunerea replicilor .
Presupunând simetria replicilor, energia liberă în aproximația de câmp mediu este
Modelul Sherrington–Kirkpatrick
Pe lângă proprietățile experimentale neobișnuite, sticlele de spin sunt și obiectul unor cercetări teoretice și computaționale extinse. O parte importantă a lucrărilor teoretice timpurii s-a bazat pe o formă de care utilizează mai multe replici ale a sistemului.
Un model important și exact rezolvabil al unei sticle de spin a fost introdus de și în 1975. Acesta este un model Ising cu interacțiuni feromagnetice și antiferomagnetice frustrate de rază lungă. Modelul reprezintă o pentru sticlele de spin și descrie dinamica lentă a magnetizării și starea de echilibru complexă, neergodică, a sistemului.
Spre deosebire de modelul Edwards–Anderson, unde interacțiunile sunt locale, în modelul Sherrington–Kirkpatrick (SK) se consideră doar interacțiuni între două spinuri, dar fiecare interacțiune poate avea rază infinită (de ordinul dimensiunii rețelei). Astfel, orice două spinuri pot fi conectate printr-o legătură feromagnetică sau antiferomagnetică, distribuția acestor legături fiind aceeași ca în modelul Edwards–Anderson.
Hamiltonianul modelului SK este
unde , și au aceleași semnificații ca în modelul EA.
Soluția de echilibru a modelului, după câteva încercări inițiale ale lui Sherrington, Kirkpatrick și ale altor cercetători, a fost găsită în 1979 de Giorgio Parisi folosind metoda replicilor. Interpretarea ulterioară a soluției lui Parisi — realizată de , Giorgio Parisi și , printre alții — a evidențiat natura complexă a fazei de temperatură joasă, caracterizată prin ruperea ergodicității, ultrametricitate și lipsa automedierii.
Dezvoltări ulterioare au condus la introducerea metodei cavității, care permite studiul fazei de temperatură joasă fără utilizarea replicilor. O demonstrație matematică riguroasă a soluției lui Parisi a fost obținută ulterior în lucrările lui și .
Diagrama de fază
Dacă se aplică un câmp magnetic extern uniform de intensitate , Hamiltonianul devine
Se presupune că toate cuplajele sunt variabile aleatorii independente și identic distribuite (IID), extrase dintr-o distribuție gaussiană cu media 0 și varianța .
În 1979, J. R. L. de Almeida și David J. Thouless au arătat că, similar modelului Ising, soluția de câmp mediu a modelului SK devine instabilă la temperaturi joase și câmp magnetic mic.
Regiunea stabilă din diagrama de fază a modelului SK este determinată de doi parametri adimensionali
Diagrama de fază este împărțită în două regiuni de așa-numita curbă de Almeida–Thouless, definită de sistemul de ecuații
Transformarea de fază apare la . Puțin sub acest punct se obține aproximativ
În limita temperaturii joase și a câmpului magnetic mare, linia devine
Modelul cu rază infinită
Acest model este cunoscut și sub numele de modelul p-spin.
Modelul cu rază infinită reprezintă o generalizare a modelului Sherrington–Kirkpatrick. În loc de interacțiuni între două spinuri, se consideră interacțiuni între spinuri, unde și este numărul total de spinuri.
Similar modelului SK, interacțiunile au rază infinită. Hamiltonianul este
În limita , acest model devine modelul energiei aleatorii (REM). În această limită, probabilitatea ca sistemul să se afle într-o anumită stare depinde doar de energia acelei stări, nu de configurația individuală a spinurilor.
De obicei se presupune că variabilele sunt distribuite gaussian pe rețea. Conform , alte distribuții conduc la același rezultat.
Distribuția gaussiană utilizată are media și varianța :
Parametrii de ordine ai sistemului sunt magnetizarea și corelația de spin între două replici diferite,
.
În aproximația de câmp mediu, energia liberă poate fi calculată explicit în funcție de și , presupunând simetria replicilor sau ruperea acesteia (1-RSB).
Comportament neergodic și aplicații
Un sistem termodinamic este dacă, pornind din orice stare de echilibru, poate vizita în cele din urmă toate celelalte stări de echilibru cu aceeași energie.
În sticlele de spin, sub temperatura de înghețare , sistemul rămâne blocat într-un set de stări neergodice. Sistemul poate fluctua între unele configurații, dar nu poate trece în alte stări de energie echivalentă.
Acest comportament poate fi interpretat printr-un extrem de accidentat, cu numeroase minime separate de bariere energetice mari. Minimele sunt organizate ierarhic, iar distanțele dintre ele sunt descrise printr-o metrică ultrametrică.
Acest aspect al teoriei sticlelor de spin a contribuit la acordarea a jumătate din Premiul Nobel pentru Fizică din 2021 lui Giorgio Parisi.
Deși temperaturile caracteristice ale acestor sisteme sunt foarte joase (de exemplu aproximativ 30 K pentru mangan diluat în cupru), conceptele teoretice dezvoltate pentru sticlele de spin au devenit extrem de utile în alte domenii. Printre aplicații se numără studiul rețelelor neurale (de exemplu rețelele Hopfield), probleme de optimizare combinatorială în informatică și modele din genetică.
Aplicații
Formalismul teoriei de câmp mediu cu replici a fost aplicat și în studiul rețelelor neurale, unde permite calculul unor proprietăți precum capacitatea de memorare a unor arhitecturi simple de rețele, fără a fi necesară implementarea unui algoritm de antrenare (de exemplu backpropagation).
Modelele de sticlă de spin au fost adaptate și în studiul plierii proteinelor, în special în modelul folding funnel.
Note
Bibliografie
Popular exposition, with a minimal amount of mathematics. A practical tutorial introduction. 1st 15 chapters of 2008 draft version, available at www.stat.ucla.edu Manual care se concentrează pe metoda cavității și aplicațiile acesteia în informatică, în special pe problemele de satisfacere a constrângerilor. Introduction focused on computer science applications, including neural networks. Focuses on the experimentally measurable properties of spin glasses (such as copper-manganese alloy). .
and . Compendium of rigorously provable results.
Surse primare . ShieldSquare Captcha . Papercore Summary http://papercore.org/Sherrington1975 . . .... Papercore Summary http://papercore.org/Parisi1980 . .
Vezi și
Magnet amorf Antiferomagnetism Metoda cavității Structură cristalină Frustrare geometrică Sticlă orientațională Transformare de fază Ordine și dezordine Modelul energiei aleatorii Metoda replicilor Fizica stării solide Gheață de spin
Legături externe
Statistics of frequency of the term "Spin glass" in arxiv.org
Categorie:Fizică matematică