În mecanica statistică, metoda matricii de transfer este o tehnică matematică utilizată pentru a scrie într-o formă mai simplă. Metoda a fost introdusă în 1941 de Hans Kramers și .

În multe unidimensionale, funcția de partiție este scrisă inițial ca o sumă multiplă de ordin n peste toate posibile și conține de asemenea o sumă a contribuțiilor fiecărei componente la energia sistemului în cadrul fiecărei microstări.

Prezentare generală

Modelele de dimensiuni superioare conțin și mai multe sume. Pentru sisteme cu mai mult decât câteva particule, astfel de expresii devin rapid prea complicate pentru a fi evaluate direct, chiar și cu ajutorul calculatoarelor.

În schimb, funcția de partiție poate fi rescrisă într-o formă echivalentă. Ideea de bază este scrierea sub forma

unde v0 și vN+1 sunt vectori de dimensiune p, iar matricile p×p Wk sunt așa-numitele matrici de transfer.

În unele cazuri, în special pentru sisteme cu , funcția de partiție poate fi scrisă mai simplu ca

unde „tr” reprezintă urma unei matrice. În ambele situații, funcția de partiție poate fi determinată exact folosind valorile proprii ale matricilor. Dacă toate matricile sunt identice și egale cu o matrice W, funcția de partiție poate fi aproximată prin puterea N a celei mai mari valori proprii a lui W, deoarece urma este suma valorilor proprii, iar valorile proprii ale produsului a două matrici diagonale sunt produsul valorilor proprii individuale.

Metoda matricii de transfer este utilizată atunci când sistemul total poate fi descompus într-o succesiune de subsisteme care interacționează doar cu subsistemele adiacente. De exemplu, o rețea cubică tridimensională de spini din modelul Ising poate fi descompusă într-o succesiune de rețele plane bidimensionale de spini care interacționează numai cu planurile vecine. Dimensiunea p a matricii de transfer p×p este egală cu numărul de stări posibile ale subsistemului; matricea de transfer Wk codifică asociată unei anumite stări a subsistemului k−1 aflate lângă o stare a subsistemului k.

În mod important, metodele bazate pe matrice de transfer permit tratarea modelelor probabilistice pe rețea dintr-o perspectivă algebrică, permițând, de exemplu, utilizarea rezultatelor din teoria reprezentării.

Ca exemplu de mărime observabilă ce poate fi calculată prin această metodă, probabilitatea ca o anumită stare să apară la poziția x este

unde este matricea de proiecție pentru starea , având elementele .

Metodele bazate pe matrice de transfer au fost esențiale pentru numeroase soluții exacte în mecanica statistică, inclusiv pentru modelele și ale tranziției helix–coil, pentru modelele de matrice de transfer utilizate în legarea proteinelor de ADN, precum și pentru celebra soluție exactă a modelului Ising bidimensional obținută de Lars Onsager.

Note

Lectură suplimentară

Vezi și