thumb|Detalii infinite Curba Koch este una dintre primele curbe fractale descrise. A apărut pentru prima dată într-o lucrare din 1904 a matematicianului suedez Helge von Koch< Curba, infinit zimțată, are o lungime infinită și este un exemplu de curbă continuă, nediferențiabilă.

Generarea curbelor Curba Koch este generată prin executarea repetată a unui program de instrucțiuni sau a unei proceduri recursive: este o procedură deoarece este definită precis de un număr finit de pași și este recursivă deoarece este repetată mecanic. Algoritmul curbei constă în repetarea următorului ciclu: Pornind de la un segment de o lungime dată, se împarte segmentul în trei segmente egale; se șterge segmentul central, înlocuindu-l cu două segmente identice care constituie cele două laturi ale unui triunghi echilateral; se revine la punctul 1 pentru fiecare dintre segmentele curente.

thumb|center|upright=1.25|Construcția curbei Koch: prima iterație

Pornind de la un segment, se obțin patru segmente (constituind o linie întreruptă) în primul ciclu, 4x4=16 în al doilea ciclu și așa mai departe, generând în final un fractal elegant. Mărirea oricărui detaliu al fractalului produce în continuare același fractal: aceasta este autosimilaritatea și tructura fină a fractalilor la orice scară.

frame|center|Iterații ulterioare

Curba von Koch este limita liniilor poligonale obținute atunci când pașii de mai sus sunt repetați la nesfârșit.

O extindere a noțiunii de dimensiune ne permite să atribuim curbei Koch o dimensiune fractală (neîntregată) a cărei valoare este .

Curba Koch are o lungime infinită. Într-adevăr, presupunând că curba are o lungime finită L>0, această lungime ar fi mai mare decât lungimea fiecăreia dintre liniile poligonale obținute la fiecare pas al construcției curbei. Cu toate acestea, lungimea acestor linii tinde spre infinit deoarece la fiecare pas al construcției curbei, lungimea liniei poligonale este înmulțită cu 4/3>1. Fulgul de zăpadă al lui Koch

Este un triunghi echilateral ale cărui laturi sunt înlocuite de curbe Koch orientate spre exterior.

Aria fulgului de zăpadă Trecând de la un triunghi cu aria la un fulg de zăpadă Koch, aria crește cu pentru fiecare latură și, prin urmare, devine : De fapt, creșterea ariei pentru o latură este:

Anti-fulg de zăpadă

Pentru a construi un anti-fulg de zăpadă, ca și în cazul fulgului de zăpadă, începem cu un triunghi echilateral, dar cele trei laturi sunt înlocuite cu trei curbe Koch orientate spre interior în loc de spre exterior.

Aria sa este deoarece trebuie să scădem aceeași cantitate adăugată anterior.

Anti-fulgul de zăpadă prezintă un model fractal care se repetă la infinit, cu zone care scad conform unei progresii geometrice a raportului . Acest model are forma unui fulg de zăpadă alungit, corespunzând îmbinării a doi fulgi de zăpadă într-unul singur și, prin urmare, se numește fulg de zăpadă siamez Koch.

Spre deosebire de fulgul de zăpadă și fulgul siamez, anti-fulgul de zăpadă este autosimilar. Într-adevăr, dacă, păstrând centrul, cele trei brațe care se extind de la cel mai mare fulg de zăpadă siamez sunt scurtate, se obține un anti-fulg de zăpadă mai mic Siamezi și Anti-Siamezi

Pentru a obține Siamezii Koch, o variantă a fulgului de zăpadă, începem cu două triunghiuri echilaterale care au o latură comună, pe care o eliminăm, obținând astfel un romb. Apoi înlocuim laturile cu curbe Koch orientate spre exterior. Perimetrul acestei figuri, fiind compus din curbe Koch, este infinit. Aria sa, însă, este: . De fapt, la aria rombului, egală cu cea a două triunghiuri echilaterale, trebuie să adăugăm, pentru fiecare dintre cele patru laturi, excesul de aria, care, așa cum s-a văzut anterior, este de pentru fiecare latură.

Pornind de la același romb și intercalând intern cele patru laturi, obținem anti-siamez. Aceeași figură fractală ca în anti-fulg de zăpadă se repetă de trei ori în cele trei ramuri, rotite cu 120 de grade și întâlnindu-se în centru. Perimetrul este infinit, iar aria este .

Dacă, pe de altă parte, intercalăm cele patru laturi ale rombului, atât intern, cât și extern, obținem un siamez care conține g său anti-siamez. o figură care ilustrează proprietatea siamezului de a se putea descompune într-un număr infinit de copii ale sale. Om de zăpadă Pentru a obține omul de zăpadă al lui Koch, începem cu un romb cu un unghi ascuțit de 60 de grade și un unghi obtuz de 120 de grade. Algoritmul curbei Koch se aplică celor opt jumătăți; cele adiacente unghiului ascuțit se extind spre exterior, celelalte se extind spre interior. Figura obținută la limita iterațiilor efectuate este omul de zăpadă, care are aceeași arie ca rombul inițial și toate fazele ulterioare. De fapt, cele patru modificări externe compensează exact cele patru interne. Omul de zăpadă moștenește proprietatea rombului de a pava planul. Omul de zăpadă al lui Koch poate fi descompus în trei fulgi de zăpadă, doi mici și unul mare. Acest lucru se datorează faptului că rombul poate fi descompus într-un hexagon regulat cu două triunghiuri echilaterale adiacente la două laturi paralele opuse. Prin substituirea curbelor Koch extern pe laturile triunghiurilor, obținem cei doi fulgi de zăpadă mici, în timp ce prin substituirea aceleiași curbe intern pe laturile hexagonului, obținem un fulg de zăpadă mai mare.

Pavare cu figuri Koch Pavaj cu fulgi de zăpadă și oameni de zăpadă Dacă înlocuim descompunerea omului de zăpadă în fulgi de zăpadă într-o mozaicare Koch a planului, obținem mozaicare cu fulgi de zăpadă de diferite dimensiuni.

Pavaj cu siameză Acest lucru poate fi realizat în multe moduri, dar dimensiunile siamezi sunt infinite și scad în progresie geometrică.

Note

Vezi și Molie (fractal) Terfluture

Legături externe

, ,

Categorie:Figuri geometrice Categorie:Fractali