Teorema lui Heine, numită și teorema Heine-Cantor, face parte din domeniul analizei matematice.
Nu trebuie confundată cu teorema lui Cantor.
Enunț Fie X, Y două spații metrice, iar X să fie și compact. Atunci orice funcție continuă f : X → Y este și uniform-continuă.
În cazul particular al funcțiilor numerice, dacă
f : [a , b] →
este continuă în orice punct x al intervalului [a, b] atunci:
astfel încât
Deoarece poate fi ales independent de x , putem inversa cei doi cuantificatori:
devine
Astfel, proprietatea de uniform-continuitate se exprimă:
Demonstrație
Pentru spațiile metrice X, Y definim distanțele d, respectiv d'.
Trebuie să arătăm că:
astfel încât:
.
Prin reducere la absurd, presupunem că f este continuă pe X, dar nu și uniform-continuă. Atunci există
astfel încât pentru orice
putem găsi două puncte și în X cu:
și
Șirul are valori în spațiul compact X, deci poate admite un subșir convergent pe care îl notăm
iar limita sa .
Deoarece
avem
convergent, cu limita
Așadar, dacă n tinde către
și deoarece f este continuă:
.
Obținem o contradicție. Deci f este uniform-continuă pe X.
Note
Bibliografie Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974 Iacob, C. - Curs de matematici superioare, București, 1957 Popa, C. - Introducere în analiza matematică, Editura Facla, 1976
Vezi și Georg Cantor
Legături externe Teorema Lui Heine la PlanetMath Demonstrația teoremei
Categorie:Analiză funcțională Heine