Разбиение единицы — конструкция, используемая в топологии для удобства работы с многообразием как с множеством карт.
С помощью разбиения единицы определяется, в частности, интеграл от дифференциальной формы на многообразии.
Конструкция Пусть дано открытое покрытие топологического пространства открытыми множествами . Разбиением единицы, подчиненным покрытию , называется набор неотрицательных непрерывных вещественных функций на , обладающих следующими свойствами:
Носитель каждой из функций целиком содержится в одном из множеств . Для любой точки имеем (то есть при любом для не более, чем счётного множества функций отлично от нуля и ряд , где сходится к 1. Этот ряд абсолютно сходится, поэтому сумма ряда не зависит от порядка членов). Если для любой точки существует окрестность , такая что пересечение непусто не более чем для конечного числа индексов , то такое разбиение единицы называется локально конечным.
Свойства Для всякого открытого покрытия паракомпактного пространства существует подчинённое ему локально конечное разбиение единицы. Обратно, если для всякого открытого покрытия -пространства существует подчинённое ему разбиение единицы, то это пространство паракомпактно. Для всякого открытого покрытия -многообразия, существует подчинённое покрытию конечное или счётное локально конечное разбиение единицы, состоящее из функций класса .
Литература
Категория:Топология Категория:Общая топология Категория:Дифференциальная геометрия и топология