Проверка статистических гипотез является содержанием одного из обширных классов задач математической статистики.
Статистическая гипотеза — гипотеза о виде распределения и свойствах случайной величины, которую можно подтвердить или опровергнуть применением статистических методов к данным выборки.
Статистические гипотезы
Определения Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина , распределение которой полностью или частично неизвестно. Тогда любое утверждение относительно называется статистической гипотезой. Гипотезы различают по виду предположений, содержащихся в них:
Статистическая гипотеза, однозначно определяющая распределение , то есть , где — какой-то конкретный закон, называется простой.
Статистическая гипотеза, утверждающая принадлежность распределения к некоторому семейству распределений, то есть вида , где — семейство распределений, называется сложной.
На практике обычно требуется проверить какую-то конкретную и, как правило, простую гипотезу . Такую гипотезу принято называть нулевой. При этом параллельно рассматривается противоречащая ей гипотеза , называемая конкурирующей или альтернативной.
Выдвинутая гипотеза нуждается в проверке, которая осуществляется статистическими методами, поэтому гипотезу называют статистической. Для проверки гипотезы используют критерии, позволяющие принять или опровергнуть гипотезу.
В большинстве случаев статистические критерии основаны на случайной выборке фиксированного объема для распределения . В последовательном анализе выборка формируется в ходе самого эксперимента и потому её размер является случайной величиной (см. Последовательный статистический критерий).
Пример Пусть дана независимая выборка из нормального распределения, где — неизвестный параметр. Тогда , где — фиксированная константа, является простой гипотезой, а конкурирующая с ней — сложной.
Этапы проверки статистических гипотез Формулировка основной гипотезы и конкурирующей гипотезы . Задание уровня значимости , на котором в дальнейшем и будет сделан вывод о справедливости гипотезы. Он равен вероятности допустить ошибку первого рода. Расчёт статистики критерия такой, что: её величина зависит от исходной выборки ; по её значению можно делать выводы об истинности гипотезы ; статистика , как функция случайной величины , также является случайной величиной и подчиняется какому-то закону распределения. Построение критической области. Из области значений выделяется подмножество таких значений, по которым можно судить о существенных расхождениях с предположением. Его размер выбирается таким образом, чтобы выполнялось равенство . Это множество и называется критической областью. Вывод об истинности гипотезы. Наблюдаемые значения выборки подставляются в статистику и по попаданию (или непопаданию) в критическую область выносится решение об отвержении (или не отвержении) выдвинутой гипотезы .
Виды критической области Выделяют три вида критических областей: Двусторонняя критическая область определяется двумя интервалами , где находят из условий . Левосторонняя критическая область определяется интервалом , где находят из условия . Правосторонняя критическая область определяется интервалом , где находят из условия .
См. также Ошибки первого и второго рода Статистический критерий Уровень значимости Статистическая мощность Квантиль
Примечания
Литература
Категория:Математическая статистика Категория:Статистический последовательный анализ