Оценка Каплана — МейераKaplan, E.L. в ретроспективном обзоре основополагающей статьи в рубрике «This week's citation classic». Current Contents 24, 14 (1983). Доступно на сайте UPenn в формате PDF. , также известная как множительная оценка (англ. product limit estimator), — непараметрическая статистика, применяемая для оценки функции выживания по данным о продолжительности жизни. В медицинских исследованиях её часто используют, чтобы измерить долю пациентов, остающихся в живых в течение определённого времени после лечения. В других областях оценку Каплана — Мейера применяют для измерения того, сколько времени люди остаются безработными после потери работы, времени безотказной работы деталей машин, а также того, как долго мясистые плоды остаются на растениях, пока их не снимут плодоядные животные. Оценка названа в честь Эдварда Л. Каплана и Пола Мейера, которые независимо друг от друга направили в журнал Journal of the American Statistical Association похожие рукописи. Редактор журнала Джон Тьюки убедил их объединить работы в одну статью, которая с момента публикации в 1958 году была процитирована более 34 000 раз.
Оценка функции выживания (вероятности того, что продолжительность жизни превышает ) задаётся выражением:
где — момент времени, в который произошло хотя бы одно событие, — число событий (например, смертей), произошедших в момент , а — число объектов, о которых известно, что они дожили до момента (то есть с ними ещё не произошло событие и они не были подвергнуты цензурированию).
Основные понятия График оценки Каплана — Мейера представляет собой ряд убывающих горизонтальных ступеней, который при достаточно большом объёме выборки приближается к истинной функции выживания рассматриваемой популяции. Значение функции выживания между двумя последовательными различающимися наблюдениями («шагами») считается постоянным.
Важное преимущество кривой Каплана — Мейера состоит в том, что метод способен учитывать некоторые типы цензурированных данных, в частности цензурирование справа, которое возникает, если пациент выбывает из исследования, теряется для дальнейшего наблюдения либо остаётся жив без наступления события к моменту последнего наблюдения. На графике короткими вертикальными засечками отмечают отдельных пациентов, чьи времена выживания были подвергнуты цензурированию справа. Если усечения или цензурирования не происходит, кривая Каплана — Мейера представляет собой дополнение к эмпирической функции распределения.
В медицинской статистике типичное применение может заключаться в разбиении пациентов на категории — например, пациентов с профилем гена A и пациентов с профилем гена B. На графике пациенты с геном B умирают значительно быстрее, чем пациенты с геном A. Через два года выживают около 80 % пациентов с геном A, но менее половины пациентов с геном B.
Чтобы построить оценку Каплана — Мейера, для каждого пациента (или объекта наблюдения) требуются как минимум два показателя: статус на момент последнего наблюдения (наступление события либо цензурирование справа) и время до события (или до цензурирования). Если необходимо сравнить функции выживания между двумя и более группами, требуется третий показатель — принадлежность каждого объекта наблюдения к группе.
Постановка задачи Пусть — случайная величина, равная времени, прошедшему от начала периода возможного воздействия до момента наступления интересующего нас события . Как указано выше, цель состоит в том, чтобы оценить функцию выживания , лежащую в основе распределения . Напомним, что эта функция определяется как
, где — время.
Пусть — независимые одинаково распределённые случайные величины, распределённые так же, как : — случайный момент времени, в который произошло некоторое событие . Данные, доступные для оценивания , — это не сами , а список пар , где для величина — фиксированное детерминированное целое число, время цензурирования события , а . Иными словами, доступная информация о моменте наступления события — это то, произошло ли событие до фиксированного момента , и если да, то доступно и фактическое время события. Задача состоит в том, чтобы оценить по этим данным.
Вывод оценки Каплана — Мейера Ниже приводятся два вывода оценки Каплана — Мейера. Оба они основаны на переписывании функции выживания через так называемую интенсивность отказов (hazard), или показатель смертности. Однако прежде чем переходить к этому, стоит рассмотреть наивную оценку.
Наивная оценка Чтобы понять преимущество оценки Каплана — Мейера, полезно сначала описать наивную оценку функции выживания.
Зафиксируем и пусть . Несложное рассуждение показывает, что верно следующее утверждение:
Утверждение 1: Если время цензурирования события превышает (), то тогда и только тогда, когда .
Пусть таково, что . Из приведённого утверждения следует, что
Пусть и рассмотрим только те , то есть события, исход которых не был подвергнут цензурированию до момента . Пусть — число элементов множества . Заметим, что множество не случайно, а значит, не случайно и . Кроме того, — последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин Бернулли с общим параметром . Предполагая, что , это подсказывает оценивать при помощи
где второе равенство следует из того, что влечёт , а последнее равенство — просто замена обозначений.
Качество этой оценки определяется величиной . Это становится проблемой, когда мало, что по определению происходит, если значительная часть событий подвергнута цензурированию. Особенно неприятное свойство этой оценки, указывающее на то, что она, возможно, не является «наилучшей», состоит в том, что она полностью игнорирует наблюдения, чьё время цензурирования наступает раньше . Интуитивно эти наблюдения всё же несут информацию о : например, если для многих событий с также выполняется , можно заключить, что события часто происходят рано, а значит, велика, что через равенство означает, что должна быть мала. Однако наивная оценка эту информацию игнорирует. Возникает вопрос, существует ли оценка, лучше использующая все данные. Именно этого и достигает оценка Каплана — Мейера. Отметим, что наивную оценку нельзя улучшить, если цензурирование отсутствует; поэтому сама возможность улучшения принципиально зависит от того, применяется ли цензурирование.
Подход подстановки (plug-in)
Элементарные вычисления дают:
где предпоследнее равенство использует то, что принимает целочисленные значения, а в последней строке введено обозначение
Рекурсивно раскрывая равенство , получаем
Заметим, что здесь .
Оценку Каплана — Мейера можно рассматривать как «оценку подстановки» (plug-in estimator), в которой каждое оценивается по данным, а оценка получается как произведение этих оценок.
Осталось указать, как оценивать . Рассуждая так же, как при построении наивной оценки выше, для любого такого, что , выполняются оба равенства и . Следовательно, для любого такого, что ,
Отсюда мы приходим к оценке
(числитель и знаменатель в определении «интенсивности отказов» оцениваются по отдельности). Тогда оценка Каплана — Мейера задаётся как
Вид оценки, приведённый в начале статьи, можно получить с помощью дальнейших алгебраических преобразований. Для этого запишем , где, используя терминологию актуарной науки, — число известных смертей в момент , а — число тех, кто жив (и не подвергнут цензурированию) в момент .
Отметим, что если , то . Это означает, что из произведения, определяющего , можно исключить все члены, для которых . Тогда, обозначив моменты времени , для которых , а также и , мы приходим к виду оценки Каплана — Мейера, приведённому в начале статьи:
В отличие от наивной оценки, эта оценка использует имеющуюся информацию более эффективно: в упомянутом ранее частном случае, когда зафиксировано много ранних событий, оценка перемножит много членов со значением меньше единицы и тем самым учтёт, что вероятность выживания не может быть велика.
Вывод как оценки максимального правдоподобия Оценку Каплана — Мейера можно также получить методом максимального правдоподобия для дискретной функции риска. Точнее, если — число событий, а — общее число объектов под риском в момент времени , дискретную интенсивность риска можно определить как вероятность наступления события у объекта в момент времени . Тогда функцию выживания можно определить как:
а функция правдоподобия для интенсивности риска вплоть до момента имеет вид:
следовательно, логарифм правдоподобия равен:
нахождение максимума логарифма правдоподобия по даёт:
где «крышка» обозначает оценку максимального правдоподобия. Учитывая этот результат, можно записать:
В более общем случае (как для непрерывных, так и для дискретных распределений выживания) оценку Каплана — Мейера можно интерпретировать как непараметрическую оценку максимального правдоподобия.
Статистические характеристики Оценка Каплана — Мейера является статистикой, и для приближённого вычисления её дисперсии используется несколько оценок. Одна из наиболее распространённых — формула Гринвуда:
где — число случаев, а — общее число наблюдений, при .
В некоторых случаях требуется сравнить между собой разные кривые Каплана — Мейера. Это можно сделать с помощью логрангового критерия и критерия пропорциональных рисков Кокса.
Среди других статистик, применяемых вместе с этой оценкой, — точечные доверительные интервалы, полоса Холла — Веллнера и полоса равной точности.
Программное обеспечение Mathematica: встроенная функция SurvivalModelFit строит модели выживания. SAS: оценка Каплана — Мейера реализована в процедуре proc lifetest. R: оценка Каплана — Мейера доступна в пакете survival. Stata: команда sts возвращает оценку Каплана — Мейера. Python: оценка Каплана — Мейера реализована в пакетах lifelines и scikit-survival. MATLAB: функция ecdf с аргументами 'function','survivor' позволяет вычислить или построить график оценки Каплана — Мейера. StatsDirect: оценка Каплана — Мейера реализована в меню Survival Analysis. SPSS: оценка Каплана — Мейера реализована в меню Analyze > Survival > Kaplan-Meier.... Julia: пакет Survival.jl включает оценку Каплана — Мейера. Epi Info: кривые выживания по оценке Каплана — Мейера и результаты логрангового критерия получают с помощью команды KMSURVIVAL.
Преимущества и ограничения Оценка Каплана — Мейера — один из наиболее часто используемых методов анализа выживаемости. Она полезна для изучения частоты выздоровления, вероятности смерти и эффективности лечения. Метод ограничен в своей способности оценивать выживаемость с поправкой на ковариаты; для оценки выживаемости с поправкой на ковариаты могут применяться параметрические модели выживания и модель пропорциональных рисков Кокса.
Оценка Каплана — Мейера напрямую связана с оценкой Нельсона — Аалена: обе они максимизируют эмпирическое правдоподобиеZhou, M. (2015). Empirical Likelihood Method in Survival Analysis (1st ed.). Chapman and Hall/CRC. https://doi.org/10.1201/b18598.
См. также Анализ выживаемости Частота превышения Медианная летальная доза Оценка Нельсона — Аалена
Примечания
Дополнительная литература
Ссылки
Категория:Оценки статистических параметров Категория:Актуарная математика Категория:Анализ выживаемости Категория:Теория надёжности