Свобо́дная гру́ппа — группа, в которой можно выделить множество образующих элементов такое, что каждый элемент группы единственным образом выражается в виде несократимого слова из образующий и их обратных. Является центральным понятием комбинаторной теории групп.

Свободные группы, обладающие равномощными ситемами образующих, изоморфны. Число образующих называется её рангом свободной группы. В частности, для каждого определена свободная группа ранга , которая обозначается . Например, группа изоморфна бесконечной циклической группе.

Конструктивное определение Возможно предъявить явную конструкцию свободных групп, доказав тем самым их существование. Будем считать элементы множества «символами» и для каждого символа из введём символ ; множество последних обозначим . Пусть . Определим слово над как конечную цепочку (возможно, повторяющихся) символов из , записанных друг за другом. Вместе с операцией конкатенации (склейки, приписывания) множество слов над становится полугруппой. Будем считать, что во множестве слов имеется пустое слово , которое не содержит символов. Таким образом получается моноид слов над

Например, для . , два слова: ,

и их конкатенация: .

Например, .

Далее вводится правило редукции слов. Если в некотором слове за символом (символу) из следует (предшествует) соответствующий ему символ из то удаление этой пары символов назовём редукцией. Слово называется редуцированным, если в нём больше нельзя провести редукцию. Полной редукцией называется последовательное применение редукции к данном слову до тех пор, пока оно не станет редуцированным. Например, из слова (см. пример выше) после полной редукции получается редуцированное слово: Это определение является корректным: легко показать, что разный порядок выполнения нескольких редукций до тех пор, пока они возможны, приводит к единственному результату.

Свободной группой , порождённой множеством (или свободной группой над ) называется группа редуцированных слов над с операцией конкатенации (за которой следует полная редукция результата при необходимости).

Определение через универсальное свойство Свободная группа  — это в некотором смысле наиболее общая группа, порождённая множеством А именно, для любой группы и любого отображения множеств существует единственный гомоморфизм групп для которого следующая диаграмма коммутативна:

Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между множествами отображений и гомоморфизмов . Для несвободной группы соотношения в группе накладывали бы ограничения на возможные образы образующих элементов группы.

Это свойство можно принять за определение свободной группы, при этом она определена лишь с точностью до изоморфизма, как и любой универсальный объект. Это свойство называется универсальностью свободных групп. Порождающее множество называется базисом группы . Одна и та же свободная группа может иметь разные базисы.

С точки зрения теории категорий свободная группа — это функтор из категории множеств в категорию групп , являющийся левым сопряжённым для забывающего функтора .

Свойства Все свободные группы, порождённые равномощными множествами, изоморфны. При этом мощность множества, порождающего данную свободную группу, называется её рангом. Свободная группа изоморфна свободному произведению копий . Теорема Нильсена — Шрайера: любая подгруппа свободной группы свободна. Любая группа есть факторгруппа некоторой свободной группы по некоторой её подгруппе H. За могут быть взяты образующие . Тогда существует естественный эпиморфизм . Ядро H этого эпиморфизма является множеством соотношений задания . Коммутант свободной группы конечного ранга имеет бесконечный ранг. Например, коммутант порождённой двумя элементами свободной группы  — это свободная группа, порождённая всеми коммутаторами . Абелианизация любой свободной группы изоморфна свободной абелевой группе того же ранга.

Примечания

Литература

Категория:Комбинаторная теория групп Категория:Геометрическая теория групп