Ряд Лора́наПеревод на англ. см. в закладке «Обсуждение» статьи (или разложение Лорана, представление Лорана) комплексной функции в кольце — понятие комплексного анализа, раздела математики, представление этой функции в виде степенного ряда, в котором присутствуют слагаемые с отрицательными степенями.
Ряд Лорана можно понимать как обобщение некоторого ряда комплексной функции в окрестности точки , расположенного либо только по целым неотрицательным степеням разности комплексных чисел (степенного ряда), либо только по целым неположительным степеням в следующем виде:
.
Ряд Лорана сходится абсолютно и равномерно в некотором круговом кольце и является в этом кольце аналитической функцией. Но множество точек сходимости ряда Лорана может быть больше открытого кольца на некоторое множество точек его границы.
Определение 1. Конечная точка. Ряд Лорана в конечной точке — функциональный ряд по целым степеням над полем комплексных чисел: где переменная , а коэффициенты для . Этот ряд является суммой двух степенных рядов: — часть по неотрицательным степеням , — часть по отрицательным степеням . Ряд Лорана сходится тогда и только тогда, когда сходятся обе (как по отрицательным, так и по положительным степеням) его части.
Если — область сходимости ряда Лорана такая, что , то для ряд называется правильной частью, ряд называется главной частью.
2. Бесконечно удалённая точка. Ряд Лорана в бесконечно удалённой точке — функциональный ряд по целым степеням над полем комплексных чисел: где переменная , а коэффициенты для . По внешнему виду ряд для совпадает с рядом для , однако с формальной точки зрения получен с помощью замены для .
Если — область сходимости ряда Лорана такая, что , то для ряд называется правильной частью, ряд называется главной частью.
Свойства Часть по положительным степеням сходится во внутренности круга радиуса , часть по отрицательным степеням сходится во внешности круга радиуса . Поэтому, если , то внутренность области сходимости ряда Лорана непуста и представляет собой круговое кольцо . Поведение ряда Лорана в точках граничной окружности зависит только от для произвольного , а в точках граничной окружности — только от для произвольного . Таким образом, как и для степенных рядов поведение ряда Лорана в граничной точках кольца может быть разнообразным. Во всех точках кольца ряд Лорана сходится абсолютно. На любом компактном подмножестве ряд сходится равномерно. Для каждой точки существует такое значение , что , и ряд Лорана может быть записан в виде сходящегося в ряда по степеням : где , а для , т.е. является для правильной точкой. Таким образом, сумма ряда Лорана в есть аналитическая функция . Для на граничных окружностях кольца сходимости существуют непустые множества , точек, не являющихся для правильными. Ряд Лорана можно дифференцировать на любом компактном почленно. Интегрирование ряда Лорана даёт однозначную в функцию только при , поскольку для любого значение Ряд , представляющий в двусвязной области функцию , для любого компактного и любой спрямляемой ориентированной кривой можно интегрировать по почленно, при этом результат интегрирования зависит только от начальной и конечной точек и не зависит от формы кривой . Коэффициенты ряда Лорана удовлетворяют соотношениям , где — любая спрямляемая кривая, лежащая в компактном и один раз обходящая против часовой стрелки точку . В частности, в качестве можно взять любую окружность радиуса с центром в , расположенную внутри кольца сходимости и ориентированную положительно (параметр должен возрастать). Разложение в ряд Лорана единственно, то есть если для двух рядов Лорана по степеням , сходящихся в и соответственно, совпадают их суммы на некоторой окружности или на гомотопной ей по спрямляемой кривой , то совпадают все коэффициенты этих рядов.
Теорема Лорана Применение рядов Лорана основано главным образом на следующей теореме Лорана.
Любая функция , являющаяся однозначной и аналитической в кольце , представима в сходящимся рядом Лорана по степеням .
Представление однозначной аналитической функции в виде ряда Лорана служит основным инструментом исследования её поведения в окрестности изолированной особой точки:
1) если точка , то существует радиус такой, что в проколотой окрестности
функция представима (сходящимся) рядом Лорана;
2) если точка , то существует радиус такой, что в проколотой окрестности
функция представима (сходящимся) рядом Лорана.
Тип изолированной особой точки определяется главной частью ряда Лорана в проколотой окрестности : Устранимая особая точка — главная часть ряда Лорана равна 0. Полюс — главная часть содержит конечное число ненулевых членов. Существенно особая точка — главная часть содержит бесконечное число ненулевых членов.
Связь рядов Лорана и Фурье Рассмотрим связь между рядами Лорана и рядами Фурье. Определим ряд Фурье некоторой функции , которая интегрируема на отрезке , как следующий функциональный ряд: , где
Перепишем этот ряд Фурье в комплексной форме. Используем формулы Эйлера , , , где
получаем, что ряд
с коэффициентами
и есть ряд Фурье исходной функции , переписанный в комплексной форме.
Наконец, положим , , , тогда ряд Фурье запишется в форме ряда Лорана
со следующими коэффициентами: .
Итак, доказана следующая теорема.
Теорема 1. Комплексная форма ряда Фурье функции , , есть ряд Лорана функции , где , на единичной окружности .
Естественно, что верна и обратная теорема.
Теорема 2. Ряд Лорана комплексной функции на единичной окружности есть комплексная форма ряда Фурье функции , .
Замечание. В общем случае, даже когда ряд Фурье сходится к функции в любой точке отрезка , то для соответствующего ряда Лорана может оказаться , то есть область его сходимости пуста. Оказывается, только при некоторых строгих условиях для функции у соответствующего ряда Лорана область сходимости будет непуста.
Историческая справка Ряды, аналогичные ряду Лорана, встречаются уже в 1748 году у швейцарского, прусского и российского математика Л. Эйлера. Тем не менее такие ряды получили своё название по имени французского математика П. Лорана, доказавшего в 1843 году свою теорему. Более того, ту же теорему получил немного ранее немецкий математик К. Вейерштрасс, однако эта его работа была опубликована только в 1894 году.
Примечания
Источники
Категория:Комплексный анализ Категория:Ряды