Теоре́ма Его́рова утверждает, что последовательность измеримых функций, сходящаяся почти всюду на некотором множестве, сходится равномерно на достаточно большом его подмножестве.
Формулировка Пусть дано пространство с конечной мерой так, что , и определённая на нём последовательность измеримых функций , сходящаяся почти всюду к . Тогда для любого существует множество такое, что , и последовательность равномерно сходится к на .
В формальной записи: на на
Доказательство Рассмотрим множество всех из , для которых хотя бы один член последовательности имеет номер, не меньший , но в точке его разность с по модулю больше Из свойства сходимости почти всюду следует, что предел при возрастающем меры этого множества равен нулю для любого натурального
Значит, по определению предела найдутся такие номера , что мера меньше Выберем натуральное число так, что для него Теперь возьмём равным объединению множеств по всем , не меньшим Тогда мера в силу счётной аддитивности равна сумме мер множеств , так что верна оценка:
В то же время дополнение является множеством всех из , которые не попали в , то есть таких , что для любого натурального , не меньшего , и члена последовательности с любым номером, не меньшим , разность этого члена в точке с по модулю не больше Значит, для любого положительного найдётся номер , где натуральное одновременно больше как , так и , что во всех точках множества все следующие члены ряда по модулю отличаются от не больше, чем не , а в силу выбора меньше, чем на Следовательно, равномерно сходится к на множестве по определению.
Замечания Сходимость, выводимую теоремой, часто называют почти равномерной сходимостью. Конечность принципиальна. Пусть, например, , где — борелева σ-алгебра на , а — мера Лебега. Заметим, что . Пусть , где обозначает индикатор-функцию множества . Тогда сходится к нулю поточечно, но не сходится равномерно ни на каком дополнении к множеству конечной меры.
Вариации и обобщения Теорема Егорова естественно обобщается на случай функций со значением в Банаховом пространстве.Heinonen, Juha, et al. Sobolev spaces on metric measure spaces. Vol. 27. Cambridge University Press, 2015. Теорема Лузина
Примечания
Литература
Dmitri Egoroff, Sur les suites des fonctions measurables. C.R. Acad. Sci. Paris, (1911) 152:135-157. Богачев В. И., К истории открытия теорем Егорова и Лузина, Историко-математические исследования, вып. 48 (13), 2009.
Категория:Теория меры Категория:Функциональный анализ Его́рова Категория:Сходимость последовательностей функций