Теорема Гливе́нко — Канте́лли в математической статистике уточняет результат о сходимости выборочной функции распределения к её теоретическому аналогу.
Формулировка Пусть — бесконечная выборка из распределения, задаваемого функцией распределения . Пусть — выборочная функция распределения, построенная на первых элементах выборки. Тогда почти наверное, где символ обозначает точную верхнюю грань.
В случае непрерывной функции распределения теорема была доказана советским математиком Гливенко. На случай произвольной функции распределения теорема обобщена итальянским математиком . Оба результата опубликованы в одном и том же журнале в 1933 году.
Доказательство Обозначим . Так как обе функции распределения непрерывны справа, то значение в любой точке можно приблизить точками из рациональной окрестности
Так как объединение счетного числа измеримых функций измеримо, то — случайная величина
Зафиксируем и положим . Легко заметить, что конечно
Рассмотрим теперь на произвольном промежутке и оценим интересующую нас разность через значения на концах:
Аналогично прибавлением и вычитанием доказывается, что
Получаем, что
Теперь по следствию из УЗБЧ имеем для достаточно больших и почти всех
См. также Теорема Колмогорова
Категория:Выборочный метод Гливенко-Кантелли