Wilsonova veta je veta v teórii čísel, ktorá hovorí, že prirodzené číslo n > 1 je prvočíslo práve vtedy, keď
História Veta bola prvý raz publikovaná v roku 1770 Edwardom Waringom a pripisuje sa jeho študentovi Johnovi Wilsonovi, ani jeden z nich však neuviedol jej dôkaz.Yan, S. Y.: Number Theory for Computing. 2. vydanie, Springer, 2002. Navyše Waring publikoval vetu len v tvare nutnej podmienky. Prvý raz bola veta dokázaná (už v tvare ekvivalencie) Josephom Louisom Lagrangom v roku 1773.
Príklad
V nasledujúcej tabuľke sú uvedené hodnoty n 2-30, (n-1)!, A zvyšok po (n-1)! je rozdelený n. (Zvyšok po m delí n je napísaný m mod n). Farba pozadia je ružová na hlavných hodnotách n, svetlo zelené pre kompozitné hodnoty. + Tabuľka zvyškom modulo n 2 1 1 3 2 2 4 6 2 5 24 4 6 120 0 7 720 6 8 5040 0 9 40320 0 10 362880 0 11 3628800 10 12 39916800 0 13 479001600 12 14 6227020800 0 15 87178291200 0 16 1307674368000 0 17 20922789888000 16 18 355687428096000 0 19 6402373705728000 18 20 121645100408832000 0 21 2432902008176640000 0 22 51090942171709440000 0 23 1124000727777607680000 22 24 25852016738884976640000 0 25 620448401733239439360000 0 26 15511210043330985984000000 0 27 403291461126605635584000000 0 28 10888869450418352160768000000 0 29 304888344611713860501504000000 28 30 8841761993739701954543616000000 0
DôkazA proof of Wilson's Theorem.
Ľahko je možné overiť, že tvrdenie platí pre n = 2 a n = 3. Predpokladajme teda, že n > 3. Ak je n zložené číslo, jeho celočíselné delitele patria do množiny , a teda najväčší spoločný deliteľ čísel n a (n-1)! je väčší ako jedna, a preto neplatí . Nech je teda n prvočíslo. Potom je každé číslo z množiny M nesúdeliteľné s n, z čoho vyplýva, že pre každé číslo a z M existuje číslo b z M tak, že
Navyše, b je určené jednoznačne a keďže je n prvočíslo, a = b práve vtedy, keď a = 1 alebo a = n-1. Navyše, tieto dvojice (okrem tých, kde a = 1 a a = n-1) je možné popárovať tak, že každé číslo sa nachádza len v jednej dvojici. Vynásobením týchto dvojíc dostávame kongruenciu
z čoho vynásobením vyplýva požadované tvrdenie.
Referencie
Externé odkazy
Wilsonova veta - Wolfram MathWorld . Dôkaz Wilsonovej vety - PlanetMath .
Kategória:Teória čísel Kategória:Modulárna aritmetika