thumb|right|220px|Gauss je leta 1801 objavil prvi in drugi dokaz zakona kvadratne recipročnosti v členih 125.–146. in 262. dela Aritmetične preiskave (Disquisitiones Arithmeticae).

Zakon kvadratne recipročnosti je v teoriji števil zakon o modularni aritmetiki, ki daje pogoje za rešljivost kvadratnih enočb po modulu praštevil. Zaradi svoje subtilnosti ima veliko formulacij, vendar je najbolj standardna izjava:

Zakon tako pravi, da če sta in lihi praštevili, je vsaj eno od njiju pitagorejsko, in je kvadratni ostanek mod , če in samo če je kvadratni ostanek mod . Na drugi strani, če ali nista pitagorejski, je kvadratni ostanek mod , če in samo če ni kvadratni ostanek mod . −1 je kvadratni ostanek mod , če in samo če je pitagorejsko praštevilo (ali 2). Zakon skupaj z dodatki omogoča enostaven izračun poljubnega Legendrovega simbola, kar omogoča ugotovitev, ali obstaja celoštevilska rešitev za poljubno kvadratno enačbo oblike za liho praštevilo torej določitev »popolnih kvadratov« po modulu . Vendar to ni konstruktiven rezultat sploh ne pomaga pri iskanju specifične rešitve; za to so potrebne druge metode. Na primer, v primeru se lahko z uporabo Eulerjevega kriterija poda eksplicitno formulo za »kvadratne korene« po modulu kvadratnega ostanka in sicer:

saj je:

Ta formula deluje le, če je vnaprej znano, da je kvadratni ostanek, kar je mogoče preveriti z zakonom kvadratne recipročnosti.

Zakon kvadratne recipročnosti sta postavila Leonhard Euler in Adrien-Marie Legendre, prvi pa ga je dokazal Carl Friedrich Gauss, ki ga je v svojih razpravah Aritmetične preiskave (Disquisitiones Arithmeticae in drugih člankih imenoval »temeljni izrek«. Zapisal je:

Gauss ga je zasebno imenoval »zlati izrek«. Objavil je šest dokazov zanj, dva pa sta bila najdena v njegovih posmrtnih člankih. Sedaj je objavljenih več kot 240 dokazov.

Posploševanje zakona recipročnosti na višje potence je bil vodilni problem v matematiki in je bil ključnega pomena za razvoj večine mehanizmov moderne algebre, teorije števil in algebrske geometrije, kar je doseglo vrhunec v Artinovi recipročnosti, teoriji polj razredov in Langlandsovem programu.

Glej tudi

Opombe

Sklici

Viri

, izvirnik na Internet Archive

Zunanje povezave

A play comparing two proofs of the quadratic reciprocity law

, (332 dokazov)

Kategorija:Algebrska teorija števil Kategorija:Modularna aritmetika Kategorija:Kvadratni ostanek Kategorija:Izreki teorije števil