Posplošeni Stokesov izrek, imenovan tudi Stokes-Cartanov izrek, je v vektorskem računu in direrencialni geometriji trditev o integriranju diferencialnih form na mnogoterostih, ki poenostavlja in posplošuje več izrekov iz vektorskega računa. Še posebej je osnovni izrek infinitezimalnega računa posebni primer, ko je mnogoterost daljica, Greenov izrek in Stokesov izrek sta primera ploskev v ali , izrek Gaussa in Ostrogradskega pa je primer prostornine v ⁠. Zato se izrek včasih imenuje osnovni izrek infinitezimalnega računa več spremenljivk.

Izrek pravi, da je integral diferencialne forme čez mejo neke usmerjene mnogoterosti enak integralu njenega zunanjega odvoda čez celotno :

Izrek je v sodobni obliki formuliral Élie Joseph Cartan leta 1945, po prejšnjem delu Vita Volterre, Édouarda Goursata in Henrija Poincaréja o posplošitvi izrekov vektorskega računa.

Ta moderna oblika Stokesovega izreka je obsežna posplošitev klasičnega rezultata, ki ga je Kelvin sporočil Georgeu Gabrielu Stokesu v pismu z dne 2. julija 1850. Stokes je izrek postavil kot vprašanje na izpitu za Smithovo nagrado leta 1854, kar je privedlo do rezultata, ki nosi njegovo ime. Prvič ga je objavil Hermann Hankel leta 1861. Ta klasični primer povezuje ploskovni integral rotorja vektorskega polja nad ploskvijo (torej pretok ⁠⁠) v evklidskem trirazsežnem prostoru s krivuljnim integralom vektorskega polja nad ploskovno mejo.

Uvod

Drugi osnovni izrek infinitezimalnega računa pravi, da se lahko integral funkcije v zaprtem intervalu izračuna z iskanjem primitivne funkcije od ⁠:

Posplošeni Stokesov izrek je obsežna posplošitev tega izreka v naslednjem smislu.

z izbiro ⁠⁠, ⁠. V jeziku diferencialnih form to pomeni, da je zunanji odvod 0-forme, tj. funkcije ⁠ z drugimi besedami, da ⁠je . Splošni Stokesov izrek velja za diferencialne forme višje stopnje namesto samo za 0-forme, kot je ⁠. zaprti interval je preprosti primer enorazsežne mnogoterosti z mejo. Njena meja je množica, ki jo sestavljata dve točki ⁠⁠ in ⁠⁠. Integriranje ⁠⁠ po intervalu se lahko posploši na integriranje form na višjerazsežni mnogoterosti. Potrebna sta dva tehnična pogoja: mnogoterost mora biti usmerljiva in forma mora biti kompaktno podprta, da se dobi dobro definirani integral. točki ⁠⁠ in ⁠⁠ tvorita mejo zaprtega intervala. Bolj splošno velja Stokesov izrek za usmerjene mnogoterosti ⁠⁠ z mejo. Meja ⁠⁠ od ⁠⁠ je sama mnogoterost in podeduje naravno usmerjenost od ⁠⁠⁠⁠. Naravna usmerjenost intervala daje na primer usmerjenost dveh mejnih točk. Intuitivno ⁠⁠ podeduje nasprotno usmerjenost kot ⁠⁠, saj sta na nasprotnih koncih intervala. Torej, »integriranje« ⁠⁠ čez dve mejni točki ⁠⁠⁠ in ⁠⁠ pomeni izračun razlike ⁠⁠⁠.

Še preprosteje povedano, se lahko točke obravnava kot meje krivulj, torej kot ničrazsežne meje enorazsežnih mnogoterosti. Torej, tako kot se lahko najde vrednost integrala (⁠⁠) po enorazsežni mnogoterosti (⁠ z upoštevanjem primitivne funkcije (⁠) na ničrazsežnih mejah (⁠), se lahko posploši osnovni izrek infinitezimalnega računa, z nekaj dodatnimi opozorili, za obravnavo vrednosti integralov (⁠) po ⁠-razsežnih mnogoterostih (⁠) z upoštevanjem primitivne funkcije (⁠⁠) na ⁠-razsežnih mejah (⁠) mnogoterosti.

Osnovni izrek se torej glasi:

Formulacija za gladke mnogoterosti z mejo

Naj je usmerjena gladka mnogoterost razsežnosti z mejo in naj je gladka -diferencialna forma, ki je kompaktno podprta na . Najprej se predpostavi, da je kompaktno podprta v domeni ene same, usmerjene koordinatne karte ⁠. V tem primeru se definira integral nad kot:

to je prek kodiferenciala na .

Bolj splošno je integral nad definiran na naslednji način: Naj je particija enote, povezana s krajevno končnim pokrovom (dosledno usmerjenih) koordinatnih kart, nato pa se definira integral:

kjer se vsak člen v vsoti ovrednoti s kodiferencialom do kot je opisano zgoraj. Ta količina je dobro definirana to pomeni, da ni odvisna od izbire koordinatnih kart niti od particije enote.

Posplošeni Stokesov izrek se glasi:

Tukaj je zunanji odvod, ki je definiran samo z rabo strukture mnogoterosti. Desna stran se včasih zapiše kot , da se poudari dejstvo, da -mnogoterost nima meje. (To dejstvo je tudi posledica Stokesovega izreka, saj za dano gladko -razsežno mnogoterost dvakratna raba izreka da za poljubno -formo , kar pomeni, da je .) Desna stran enačbe se pogosto rabi za formuliranje integralskih zakonov leva stran nato vodi do enakovrednih diferencialnih formulacij (glej spodaj).

Izrek se pogosto rabi v primerih, kjer je vložena usmerjena podmnogoterost neke večje mnogoterosti, pogosto ⁠, na kateri je definirana forma .

Topološke predpostavke; integriranje po verigah

Naj je gladka mnogoterost. (Gladki) singularni -simpleks v je definiran kot gladka preslikava standardnega simpleksa v v . Grupa singularnih -verig na je definirana kot prosta abelovska grupa na množici singularnih -simpleksov v . Te grupe skupaj z mejno preslikavo definirajo verižni kompleks. Ustrezna homološka (oziroma kohomološka) grupa je izomorfna običajni singularni homološki grupi (oziroma singularni kohomološki grupi ), definirani z rabo zveznih in ne gladkih simpleksov v .

Po drugi strani pa diferencialne forme z zunanjim odvodom kot povezovalno preslikavo tvorijo koverižni kompleks, ki definira de Rhamove kohomološke grupe ⁠⁠.

Diferencialne -forme se lahko integrira preko -simpleksa na naravni način, tako da se vrne v Razširitev z linearnostjo omogoča integriranje preko verig. To da linearno preslikavo iz prostora -form v -to grupo singularnih koverig , linearne funkcionale na . Z drugimi besedami, -forma definira funkcional:

na -verigah. Stokesov izrek pravi, da je to verižna preslikava iz de Rhamove kohomologije v singularno kohomologijo z realnimi koeficienti zunanji odvod, , se obnaša kot dual od na formah. To daje homomorfizem iz de Rhamove kohomologije v singularno kohomologijo. Na ravni form to pomeni:

zaprte forme imajo ničelni integral po mejah, to je po mnogoterostih, ki se jih lahko zapiše kot in eksaktne forme imajo ničelni integral po krožnicah, to je, če se vsota meja ujema s prazno množico: .

De Rhamov izrek kaže, da je ta homomorfizem pravzaprav izomorfizem. Torej velja obratno od 1 in 2 zgoraj. Z drugimi besedami, če so cikli, ki generirajo -to homološko grupo, potem za vsa ustrezna realna števila obstaja zaprta froma , tako da je:

in ta forma je edinstvena do eksaktnih form.

Stokesov izrek o gladkih mnogoterostih je mogoče izpeljati iz Stokesovega izreka za verige v gladkih mnogoterostih in obratno. Formalno povedano, se slednji glasi:

Osnovno načelo

220px|right

Za poenostavitev teh topoloških argumentov je smiselno preučiti osnovno načelo z zgledom za razsežnosti . Bistvo zamisli se lahko razume z diagramom na levi, ki prikazuje, da se pri usmerjenjem pokrivanju mnogoterosti notranje poti prečkajo v nasprotnih smereh njihovi prispevki k integralu po poti se tako izničijo po parih. Posledično ostane le prispevek meje. Zato zadostuje dokazati Stokesov izrek za dovolj fina pokritja (ali, enakovredno, simplekse), kar običajno ni težko.

Primer iz klasične vektorske analize

Naj je po delih gladka Jordanova ravninska krivulja. Jordanov krivuljni izrek pomeni, da deli na dve komponenti, kompaktno in nekompaktno. Naj označuje kompaktni del, ki ga omejuje , in naj je gladka, pri čemer je ⁠⁠. Če je prostorska krivulja, definirana kot in je gladko vektorsko polje na ⁠⁠, potem je:

Ta klasična trditev je poseben primer splošne formulacije po identifikaciji vektorskega polja z 1-formo in njegovega rotorja z 2-formo prek:

Posplošitev na grobe množice

thumb|right|220px|Območje (tukaj imenovano namesto ) s po delih gladko mejo. To je mnogoterost z vogali, zato njena meja ni gladka mnogoterost.

Zgornja formulacija, v kateri je gladka mnogoterost z mejo, v mnogih primerih ne zadostuje. Na primer, če je domena integriranja definirana kot ravninsko območje med dvema koordinatama in grafoma dveh funkcij, se pogosto zgodi, da ima domena vogale. V takem primeru vogalne točke pomenijo, da ni gladka mnogoterost z mejo, zato zgornja trditev Stokesovega izreka ne velja. Kljub temu je mogoče preveriti, ali sklep Stokesovega izreka še vedno velja. To je zato, ker se in njena meja dobro obnašata stran od majhne množice točk (množice ničelne mere).

Različico Stokesovega izreka, ki upošteva grobost, je dokazal Hassler Whitney. Predpostavi se, da je povezana omejena odprta podmnožica ⁠. Naj se imenuje standardna domena, če izpolnjuje naslednjo lastnost: obstaja podmnožica od , odprta v ⁠, katere komplement v ima Hausdorffovo ⁠⁠-mero enako nič; in tako, da ima vsaka točka posplošeni normalni vektor. To je takšen vektor , da če je koordinatni sistem izbran tako, da je prvi bazni vektor, potem v odprti okolici okrog ⁠⁠ obstaja gladka funkcija , tako da je graf in območje ⁠⁠. Whitney je pripomnil, da je meja standardne domene unija množice ničelne Hausdorffove ⁠⁠-mere in končne ali števne unije gladkih ⁠⁠-mnogoterosti, od katerih ima vsaka domeno samo na eni strani. Nato je dokazal, da če je standardna domena v ⁠, je ⁠-forma, ki je definirana, zvezna in omejena na ⁠⁠, gladka na ⁠⁠, integrabilna na ⁠ in tako, da je integrabilen na ⁠, potem Stokesov izrek velja, to je:

Raziskovanje merskoteoretičnih lastnosti grobih množic vodi do geometrijske teorije mere. Še bolj splošne različice Stokesovega izreka sta dokazala Herbert Federer in Jenny Harrison.

Posebni primeri

Splošna oblika Stokesovega izreka z rabo diferencialnih form je močnejša in enostavnejša za rabo kot posebni primeri. Tradicionalne različice je mogoče formulirati z rabo kartezičnih koordinat brez mehanizmov diferencialne geometrije in so zato bolj dostopne. Poleg tega so starejše in njihova imena so zato bolj znana. Tradicionalne oblike znanstveniki in inženirji pogosto menijo, da so bolj priročne, vendar nenaravnost tradicionalne formulacije postane očitna pri rabi drugih koordinatnih sistemov, tudi znanih, kot so krogelne ali valjne koordinate. Obstaja možnost zmede pri načinu rabe poimenovanj in rabe dvojnih formulacij.

Klasični primer (vektorski račun)

thumb|right|220px|Prikaz Stokesovega izreka iz vektorskega računa. Ploskev ima mejo in normalni vektor . Pozitivna smer okrog meje in pozitivna normalna smer sta povezani s pravilom desne roke.

To je (dualizirani) ⁠-⁠razsežni primer za 1-formo (dualizirano, ker gre za trditev o vektorskih poljih). Ta posebni primer se v mnogih uvodnih univerzitetnih tečajih vektorskega računa pogosto imenuje Stokesov izrek in se rabi v fiziki in inženirstvu. Včasih je znan tudi kot izrek o rotorju.

Klasični Stokesov izrek povezuje ploskovni integral rotorja vektorskega polja nad ploskvijo v evklidskem trirazsežnem prostoru s krivuljnim integralom vektorskega polja nad njegovo mejo. Je posebni primer splošnega Stokesovega izreka (kjer je ⁠⁠), ko se vektorsko polje identificira z 1-formo z rabo metrike na evklidskem trirazsežnem prostoru. Krivulja krivuljnega integrala ⁠ mora imeti pozitivno usmerjenost, kar pomeni, da kaže v nasprotni smeri urinega kazalca, ko je ploskovna normala ⁠ usmerjena proti gledalcu.

Ena od posledic tega izreka je, da silnice vektorskega polja z ničelnim rotorjem ne morejo biti zaprte konture. Formulo se lahko prepiše kot:

Greenov izrek

Greenov izrek je takoj prepoznaven kot tretji integrand obeh strani integrala glede na zgoraj navedene komponente , in .

V elektromagnetizmu

Dve od štirih Maxwellovih enačb vključujeta rotorje trirazsežnih vektorskih polj, njuna diferencialna in integralska oblika pa sta povezani s posebnim trirazsežnim primerom Stokesovega izreka (iz vektorskega računa). Paziti je treba, da se izogne primerom s premičnimi mejami: parcialni časovni odvodi so namenjeni izključitvi takšnih primerov. Če so vključene premične meje, zamenjava integriranja in odvajanja uvede izraze, povezane z gibanjem meje, ki niso vključeni v spodnje rezultate (glej odvajanje pod znakom integrala):