thumb|right|220px|Vektor z velikostjo (dolžino ali normo) in smerjo od točke do točke .

Véktor (latinsko vector – nosilec; iz vehēre – nositi) ali evklídski véktor je v matematiki, fiziki in inženirstvu količina, ki ima velikost (dolžino ali normo) in smer, nima pa lege. Vektorje v dvo- ali trirazsežnem prostoru se predstavi z usmerjenimi daljicami. Usmerjena daljica je daljica, ki ima začetno točko in končno točko .

+ Zgledi vektorskih fizikalnih količin ime označba definicija hitrost pospešek gibalna količina sila sunek sile navor vrtilna količina trzaj jakost električnega polja gostota magnetnega polja

+ Zgledi vektorskih funkcij, polj in operacij gradient (skalarnega polja) ploskovni gradient Jacobijeva matrika (vektorske funkcije) gradient vektorskega polja rotor vektorski potencial

Usmerjeni daljici in predstavljata isti vektor , če sta: vzporedni, enako dolgi in enako orientirani (usmerjeni).

Vektorji se lahko dodajajo drugim vektorjem v skladu z vektorsko algebro.

Vektor je tisto, kar je potrebno za »prenos« točke v točko – latinska beseda vector pomeni nosilec. Prvi so vektor uporabili astronomi v 18. stoletju, ko so raziskovali kroženje planetov okrog Sonca. Velikost vektorja je razdalja med dvema točkama, smer pa se nanaša na smer premika od do . Mnoge algebrske operacije na realnih številih, kot so seštevanje, odštevanje, množenje in negiranje, imajo podobne analogone za vektorje, operacije, ki upoštevajo znane algebrske zakone komutativnosti, asociativnosti in distributivnosti. Te operacije in povezani zakoni kvalificirajo vektorje kot primer splošnejšega koncepta vektorjev, definiranih preprosto kot elemente vektorskega prostora.

Vektorji so pomembni v fiziki – z njimi je mogoče opisati hitrost in pospešek premikajočega se telesa ter sile, ki delujejo nanj. Mnoge druge fizikalne količine se lahko koristno predstavlja kot vektorje. Čeprav večina od njih ne predstavlja razdalj (razen na primer lege ali premika), je njihovo velikost in smer vseeno mogoče predstaviti z dolžino in smerjo puščice. Matematična predstavitev fizičnega vektorja je odvisna od koordinatnega sistema, uporabljenega za opis. Drugi vektorjem podobni objekti, ki opisujejo fizikalne količine in se transformirajo na podoben način pod spremembami koordinatnega sistema, vključujejo psevdovektorje in tenzorje.

V matematiki velja, da se lahko vektor vzporedno prenese v poljubno začetno točko, v fiziki pa je marsikdaj pomembno, katero začetno točko (prijemališče) ima vektor.

V matematiki se poleg dvo- in trirazsežnih uporablja tudi posplošene večrazsežne (-razsežne) vektorje.

Zgodovina

Koncept in pojem vektorjev, kot se jih pozna sedaj, sta rezultata postopnega razvoja v času več kot 200 let. K razvoju vektorjev je pomembno prispevalo več ljudi. Leta 1835 je Giusto Bellavitis abstrahiral osnovno zamisel, ko je vzpostavil koncept ekvipolentnosti. Z delom v evklidski ravnini je izenačil vsak par vzporednih daljic z enako dolžino in smerjo. V bistvu je realiziral ekvivalenčno relacijo na parih točk (bitočk) v ravnini in tako postavil prvi prostor vektorjev v ravnini.

Izraz vektor je uvedel William Rowan Hamilton kot del kvaterniona , ki je vsota () realnega števila (imenovanega tudi skalar) in 3-razsežnega vektorja . Štirirazsežni sistem kvaternionov je odkril leta 1843.. Tako kot Bellavitis je na vektorje gledal kot na predstavnike razredov ekvipolentnih usmerjenih daljic. Ker kompleksna števila uporabljajo imaginarno enoto za dopolnitev realne premice, je Hamilton menil, da je vektor imaginarni del kvaterniona:

Več drugih matematikov je sredi 19. stoletja razvilo vektorske sisteme, med njimi Augustin Louis Cauchy, Hermann Günther Grassmann, August Ferdinand Möbius, Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant in Matthew O'Brien. Grassmannovo delo iz leta 1840 Teorija oseke in pretoka (Theorie der Ebbe und Flut) je bil prvi sistem prostorske analize, ki je podoben sedanjemu sistemu, in je imel zamisli, ki ustrezajo vektorskemu in skalarnemu produktu ter vektorskemu odvajanju. Grasmann je leta 1844 objavil delo Teorija linearne razširitve (Lineale Ausdehnungslehre), knjigo, ki vsebuje več kot 300 strani. Njegovo delo je bilo do 1870-ih večinoma zanemarjeno. Po Hamiltonu se je s kvaternioni ukvarjal Peter Guthrie Tait. Njegova Elementarna razprava o kvaternionih (Elementary Treatise of Quaternions) iz leta 1867 je vključevala obsežno obravnavo operatorja nabla ali . Leta 1878 je William Kingdon Clifford objavil delo Elementi dinamike (Elements of Dynamic). Poenostavil je raziskovanje kvaternionov z osamitvijo skalarnega in vektorskega produkta dveh vektorjev iz celotnega kvaternionskega produkta. Ta pristop je vektorske izračune omogočil inženirjem – in drugim, ki delajo v treh razsežnostih in so skeptični do četrte.

Josiah Willard Gibbs, ki je spoznal kvaternione pred dela Razprava o elektriki in magnetizmu (A Treatise on Electricity and Magnetism) Jamesa Clerka Maxwella iz leta 1873, je ločil njihov vektorski del za neodvisno obravnavo. Prva polovica Gibbsovega dela Elementi vektorske analize (Elements of Vector Analysis), objavljenih leta 1881, predstavlja, kar je v bistvu sodoben sistem vektorske analize. Leta 1901 je Edwin Bidwell Wilson objavil delo Vektorska analiza (Vector Analysis), prilagojeno iz Gibbsovih predavanj, ki je pregnala vsako omembo kvaternionov v razvoju vektorskega računa. Vektorski račun sta iz kvaternionskega računa razvila Gibbs in Oliver Heaviside, večino zapisov in terminologije pa sta podala Gibbs in Wilson. Sodobno obliko Maxwellovih enačb sta izdelala Heaviside in Gibbs in sta leta 1884 izvirne Maxwellove enačbe zapisala s prijemi vektorskega računa. Iz prvotnega sistema enačb je tako nastal sistem štirih enačb, ki so znane sedaj.

George Gabriel Stokes je leta 1849 prvi opisal razstavitveni (kompozicijski) izrek v treh razsežnostih za teorijo uklona. Herman von Helmholtz je leta 1858 objavil članek o nekaterih hidrodinamičnih osnovnih enačbah kot del svojega raziskovanja izrekov, ki opisujejo gibanje tekočine v bližini vrtinčnic. Njuna izpeljava je zahtevala, da vektorska polja dovolj hitro upadajo v neskončnosti. Kasneje so lahko ta pogoj omilili in Helmholtzevo razstavitev razširili na višje razsežnosti. Za Riemannove mnogoterosti so izpeljali Helmholtz-Hodgeevo razstavitev s pomočjo diferencialne geometrije in tenzorskega računa. Razstavitveni izrek je postal pomembno orodje pri mnogih problemih v teoretični fiziki, uporabili pa so ga tudi na področjih, kot so: animacija, računalniški vid in robotika.

Ludwig Edward Boltzmann je poročal, da sta samo dva fizika takoj razumela pomen Maxwellove teorije elektromagnetizma – Helmholtz in Jožef Stefan. Stefan je svojemu študentu Boltzmannu predaval Maxwellove razprave in na predavanju razpravljal o Maxwellovi teoriji. Že leta 1869 je pisal o osnovnih enačbah elektrodinamike. Svoje elektromagnetne enačbe je pisal še v vektorski obliki po komponentah. Drugi fiziki so bili do Maxwellove teorije nezaupljivi ali pa jih je celo odbijala, predvsem zaradi videza nedokončanosti in še nerazvite vektorske analize.

Pregled

V fiziki in tehniki se vektor običajno obravnava kot geometrijska entiteta, za katero sta značilni velikost in smer. Pri tem vektor nima lege. Formalno je definiran kot usmerjena daljica ali puščica v evklidskem prostoru. V čisti matematiki je vektor bolj splošno definiran kot vsak element vektorskega prostora. V tem kontekstu so vektorji abstraktne entitete, za katere je lahko značilna velikost in smer ali pa ne. Ta posplošena definicija implicira, da so zgoraj omenjene geometrijske entitete posebna vrsta vektorjev, saj so elementi posebne vrste vektorskega prostora, imenovanega evklidski prostor. Ta članek govori o vektorjih, ki so strogo definirani kot puščice v evklidskem prostoru. Kadar je treba te posebne vektorje razlikovati od vektorjev, kot so definirani v čisti matematiki, se včasih imenujejo evklidski, geometrijski ali prostorski vektorji.

Ker je evklidski vektor puščica, ima določeno začetno in končno točko. Vektor s fiksno začetno in končno točko se imenuje vezani vektor. Ko sta pomembni le velikost in smer vektorja, potem določena začetna točka ni pomembna in vektor se imenuje prosti vektor. Tako dve puščici in v prostoru predstavljata isti prosti vektor, če imata enako velikost in smer – to pomeni, da sta ekvipolentna, če je štirikotnik paralelogram. Če je evklidski prostor opremljen z izbiro koordinatnega izhodišča, potem je prosti vektor enakovreden vezanemu vektorju enake velikosti in smeri, katerega začetna točka je koordinatno izhodišče. Izraz vektor ima tudi posplošitve na višje razsežnosti in na bolj formalne pristope z veliko širšo uporabo.

Nadaljnje informacije

V klasični evklidski geometriji (tj. sintetični geometriji) so bili vektorji uvedeni (v 19. stoletju) kot ekvivalenčni razredi pod ekvipolentnostjo urejenih parov točk – dva para in sta ekvipolentna, če točke v tem vrstnem redu tvorijo paralelogram. Tak ekvivalenčni razred se imenuje vektor, natančneje evklidski vektor. Ekvivalenčni razred je pogosto označen kot usmerjena daljica .

Evklidski vektor je torej ekvivalenčni razred usmerjenih daljic z enako velikostjo (npr. dolžina daljice ) in isto smerjo (npr. smer od do ). V fiziki se evklidski vektorji uporabljajo za predstavitev fizikalnih količin, ki imajo velikost in smer, vendar se ne nahajajo na določenem mestu, v nasprotju s skalarji, ki nimajo smeri. Na primer, hitrost, sile in pospešek so predstavljeni z vektorji.

V moderni geometriji so evklidski prostori pogosto definirani iz linearne algebre. Natančneje, evklidski prostor je definiran kot množica, ki ji je pridružen prostor notranjega produkta končne razsežnosti nad realnimi vrednostmi in akcije aditivne grupe , ki je prosta in prehodna (za podrobnosti o tej konstrukciji glej afini prostor). Elementi se imenujejo translacije. Dokazano je, da sta obe definiciji evklidskih prostorov enakovredni in da se lahko ekvivalenčne razrede pod ekvipolentnostjo identificira s translacijami.

Včasih se evklidski vektorji obravnavajo brez sklicevanja na evklidski prostor. V tem primeru je evklidski vektor element normiranega vektorskega prostora končne razsežnosti nad realnimi števili ali, običajno, element , opremljenega s skalarnim produktom. To je smiselno, saj dodatek v takem vektorskem prostoru deluje prosto in prehodno na sam vektorski prostor. To je, je evklidski prostor, ki je sam sebi pridruženi vektorski prostor, in ima skalarni produkt kot notranji produkt.

Evklidski prostor je pogosto predstavljen kot evklidski prostor razsežnosti . To je motivirano z dejstvom, da je vsak evklidski prostor razsežnosti izomorfen evklidskemu prostoru . Natančneje, glede na takšen evklidski prostor, se lahko za koordinatno izhodišče izbere katero koli točko . Z Gram-Schmidtovim procesom ortonormalizacije se lahko najde tudi ortonormalno bazo pripadajočega vektorskega prostora (bazo, pri kateri je notranji produkt dveh baznih vektorjev enak 0, če sta različna, in 1, če sta enaka). To definira kartezične koordinate poljubne točke prostora, kot koordinate na tej bazi vektorja . Te izbire definirajo izomorfizem danega evklidskega prostora na , s preslikavo katere koli točke v -terico svojih kartezičnih koordinat in vsak vektor v njegov koordinatni vektor.

Zgledi v eni razsežnosti

Ker ima fizikalni koncept sile smer in velikost, se jo lahko razume kot vektor. Kot zgled je desnosmerna sila 15 newtonov. Če je tudi pozitivna os usmerjena desno, potem predstavlja vektor 15 N, in če je pozitivna os usmerjena levo, je vektor za −15 N. V obeh primerih je velikost vektorja 15 N. Podobno bi bila vektorska predstavitev premika 4 metrov 4 m ali −4 m, odvisno od njegove smeri, njegova velikost pa bi bila v vsakem primeru 4 m.

V fiziki in inženirstvu