Holomórfna fúnkcija (grško : holos - cel + : morfé - oblika, videz) je v matematiki funkcija ene ali več kompleksnih spremenljivk, ki je kompleksno odvedljiva v okolici vsake točke neke odprte podmnožice prostora . Kompleksna odvedljivost je veliko močnejša lastnost od običajne odvedljivosti realnih funkcij. Holomorfna funkcija je neskončno mnogokrat odvedljiva in jo vedno lahko razvijemo v Taylorjevo vrsto. Zato se zanjo enakovredno uporablja izraz »analitična funkcija«, vendar le-ta označuje poljubno preslikavo, ki je lokalno enaka vsoti konvergentne potenčne vrste.
Definicija
Naj bo odprta množica in . Če za obstaja limita
jo imenujemo odvod funkcije v točki in označimo z . Če obstaja za vsak , funkciji pravimo holomorfna funkcija na . Funkciji, ki je holomorfna na , pravimo cela funkcija.
Naj bosta holomorfni funkciji. Podobno kot pri realnem odvodu so holomorfni tudi vsota , razlika in produkt . Kvocient je holomorfen, kjer je , kompozitum pa je holomorfen tam, kjer je definiran. Poleg tega veljajo običajna pravila za odvajanje.
Cauchy-Riemannovi enačbi
Holomorfnost funkcije se na ekvivalenten način izraža s pogoji na njen realni in imaginarni del. Če za funkcijo pišemo kot
je holomorfna na natanko tedaj, ko sta zvezno parcialno odvedljivi ter zadoščata
in
Zgornjemu sistemu parcialnih diferencialnih enačb pravimo Cauchy-Riemannov sistem.
Glej tudi
meromorfna funkcija
Kategorija:Kompleksna analiza Kategorija:Lastnosti funkcij