Курт Гедел (; Брно, 28. април 1906 — Принстон, 14. јануар 1978) је био аустријско-амерички математичар логичар који је 1931. године доказао комплетност првог реда инфинитезималног рачуна функција. Затим је уследио његов рад О формалној неодређености поставки у „Принципима математике“ и односним системима (), у којем је доказао прву од своје две знамените теореме некомплетности. Овај рад, датиран 17. новембра 1930, изворно је објављен на немачком, 1931. године у часопису „Монатсхефте фир математик“ (). Он се сматра заједно са Аристотелом и Готлобом Фрегеом једним од најзначајнијих логичара у историји. Гедел је имао огроман утицај на научно и филозофско размишљање у 20. веку, у време када су други као што су Бертранд Расел,For instance, in their "Principia Mathematica (Stanford Encyclopedia of Philosophy edition). Алфред Норт Вајтед, и Дејвид Хилберт користили логику и теорију скупова да истражују основе математике, надовезујући се на раније радове попут Ричарда Дедекинда, Георга Кантора и Фрегеа.
Геделова открића у основама математике довела су до доказа Геделове теореме о потпуности 1929. године у склопу његове дисертације за стицање доктората на Универзитету у Бечу, и објављивања две Геделове теореме о непотпуности две године касније, 1931. године. Теорема о непотпуности постулира да за било који ω-конзистентан рекурзивни аксиоматски систем довољно моћан да опише аритметику природних бројева (на пример, Пеано аритметика), постоје истините тврдње о природним бројевима које се не могу доказати нити оповргнути из аксиома.Smullyan, R. M. (1992). Gödel's Incompleteness Theorems. . ch. V. Да би то доказао, Гедел је развио технику која је сада позната као Геделово нумерисање, која кодира формалне изразе као природне бројеве. Друга теорема о непотпуности, која следи из прве, каже да систем не може да докаже сопствену доследност.Smullyan, R. M. (1992). Gödel's Incompleteness Theorems. . ch. IX.
Године 1938. Гедел је показао да се Канторова хипотеза континуума не може оповргнути унутар стандардне Цермело—Френкел теорије скупова, чак ни ако јој се дода аксиома избора. Амерички математичар Пол Коен је 1963. године шокирао математичку заједницу доказавши да се хипотеза континуума не може ни доказати унутар -{ZFC}-.
Његов допринос на пољу математике, искористио је Даглас Хофштатер за приказивање своје филозофије у књизи „Гедел, Есхер, Бах - вечна златна плетеница“.
Теорема непотпуности „Достигнуће Курта Гедела у модерној логици је сингуларно и монументално — заиста, оно је више од споменика, то је међаш који ће остати видљив далеко у простору и времену... Природа и могућности логике су сигурно потпуно промењене Геделовим достигнућем.“ —Џон фон Нојман
Године 1931, док је још боравио у Бечу, Гедел је објавио своје теореме о непотпуности у раду О формалној неодређености поставки у „Принципима математике“ и односним системима (). У том раду је доказао да за сваки израчунљив аксиоматски систем који је довољно снажан да опише аритметику природних бројева (на пример Пеанове аксиоме или Зермело-Френкел теорија скупова са аксиомом избора), важи: ако је систем конзистентан, он не може бити потпун. конзистентност аксиома не може бити доказана унутар система. Ове теореме су окончале пола века дуге покушаје да се пронађе скуп аксиома довољних за заснивање целокупне математике, који су почели радом Фрегеа а кулминирали у делу -{Principia Mathematica}- Расела и Вајтхеда и Хилбертовим формализмом.
Основна идеја која лежи у срцу теореме о непотпуности је прилично једноставна. Гедел је у суштини конструисао формулу која тврди да је недоказива у датом формалном систему. Ако би била доказива, онда би била нетачна, што представља контрадикцију идеји да су у конзистентном систему доказиви искази увек тачни. Стога ће увек постојати бар један истинит али недоказив исказ.
Библиографија
Важне публикације На немачком:
. 1931, "Über formal unentscheidbare Sätze der . . 1932, .
На енглеском:
1940. . . Revised version in Paul Benacerraf and Hilary Putnam, eds., 1984 : 470–85. 1950, .
Енглески преводи:
Kurt Gödel, 1992. On Formally Undecidable Propositions Of Principia Mathematica And Related Systems, tr. B. Meltzer, with a comprehensive introduction by Richard Braithwaite. Dover reprint of the 1962 Basic Books edition. Kurt Gödel, 2000. On Formally Undecidable Propositions Of Principia Mathematica And Related Systems, tr. Martin Hirzel . 1930. "The completeness of the axioms of the functional calculus of logic," 582–91. 1930. "Some metamathematical results on completeness and consistency," 595–96. Abstract to (1931). 1931. "On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems," 596–616. 1931a. "On completeness and consistency," 616–17. Collected Works: Oxford University Press: New York. Editor-in-chief: Solomon Feferman. Volume I: Publications –1936. . / Paperback: , Volume II: Publications –1974. . / Paperback: , Volume III: Unpublished Essays and Lectures. . / Paperback: , Volume IV: Correspondence, A–G. . Volume V: Correspondence, H–Z. . Philosophische Notizbücher / Philosophical Notebooks: De Gruyter: Berlin/München/Boston. Editor: . Volume 1: Philosophie I Maximen 0 / Philosophy I Maxims 0. . Volume 2: Zeiteinteilung (Maximen) I und II / Time Management (Maxims) I and II. Volume 3: Maximen III / Maxims III.
Види још Геделова теорема о потпуности Геделове теореме о непотпуности
Референце
Литература
(Ishi Press paperback. .) Procházka, Jiří, 2006, 2006, 2008, 2008, 2010. . ITEM, Brno. Volume I. Brno. .. In Ger., Engl. Volume II. Brno. . In Germ., Engl. Volume III. Brno. . In Germ., Engl. Volume IV. Brno. . In Germ., Engl. Volume V,Brno,Princeton. .. In Germ., Engl. . ITEM,Brno, Wien, Princeton. Volume I. . In Ger., Engl. Olga Taussky-Todd, 1983. Remembrances of Kurt Gödel. Engineering & Science, Winter 1988.
Stephen Budiansky, 2021. Journey to the Edge of Reason: The Life of Kurt Gödel. W.W. Norton & Company.
.
.
Jaakko Hintikka, 2000. On Gödel. Wadsworth. Douglas Hofstadter, 1980. Gödel, Escher, Bach. Vintage. Stephen Kleene, 1967. Mathematical Logic. Dover paperback reprint c. 2001. . . Ed Regis, 1987. Who Got Einstein's Office? Addison-Wesley Publishing Company, Inc. . Gödel, Alois, 2006. Brünn 1679–1684. ITEM, Brno 2006, edited by Jiří Procházka. Procházka, Jiří 2017. "Kurt Gödel: 1906–1978: Curriculum vitae". ITEM, Brno, Wien, Princeton 2017. Volume I. (). In German, English. Procházka, Jiří 2019. "Kurt Gödel 1906-1978: Curriculum vitae". ITEM, Brno, Wien, Princeton 2019. Volume II. (). In German, English. Procházka, Jiří 2O2O. "Kurt Gödel: 19O6-1978. Curriculum vitae". ITEM, Brno, Wien, Princeton 2020. Volume III. (). In German, English. 223 Pages.
. Reviewed by .
Додатна литература .
Спољашње везе
Time Bandits: an article about the relationship between Gödel and Einstein by Jim Holt "Gödel and the limits of logic" by John W Dawson Jr. (June 2006) Paul Davies and Freeman Dyson discuss Kurt Godel "Gödel and the Nature of Mathematical Truth" Edge: A Talk with Rebecca Goldstein on Kurt Gödel.
National Academy of Sciences Biographical Memoir
Категорија:Рођени 1906. Категорија:Умрли 1978. Категорија:Амерички математичари Категорија:Аустријски математичари Категорија:Аустријски филозофи Категорија:Амерички филозофи Категорија:Аустријски логичари Категорија:Амерички логичари Категорија:Онтолози