мини|десно Векторски простор је математичка структура коју чини скуп вектора — објеката које је могуће међусобно сабирати и множити члановима одређеног поља који се у овом контексту називају скаларима. Операције сабирања вектора и множења скаларом морају задовољавати одређена својства, односно аксиоме векторског простора (в. Дефиниција). Векторски простори се проучавају у оквиру линеарне алгебре.
Једноставан, интуитивно познат пример векторског простора су геометријски вектори којима се могу представити физичке величине које, поред интензитета, имају усмереност као што су силе у класичној механици: две силе које делују на исто тело се могу сабрати, чиме се добија резултујућа сила, а такође силе се могу множити реалним бројевима чиме се добија нова векторска величина (нова сила или нека друга величина, рецимо убрзање). Ипак, битно је схватити да су вектори у контексту теорије векторских простора далеко општији математички објекти од поменутих геометријских вектора. У контексту векторских простора, дефиниција вектора је једноставно — члан векторског простора. У том смислу, може се говорити о векторским просторима полинома (где су полиноми одговарајућег степена вектори), функција и сл. Основна структура векторског простора може се проширити увођењем додатних својстава, као што је нпр. скаларни производ, чиме се омогућава увођење везе између алгебре и геометрије.
Историјски гледано, идеје које су довеле до теорије векторских простора могу се срести у проучавању аналитичке геометрије, матрица, система линеарних једначина и геометријских вектора. Модерну, апстрактну дефиницију векторског простора дао је Ђузепе Пеано крајем 19. века.
Векторски простори данас налазе широку примену у математици, науци и техници. У математичкој физици, на пример, су једна од централних тема због свог суштинског значаја у квантној механици; такође, представљају основ за Фуријеов развој који се, између осталог, користи у техникама за компресију слика; и тако даље.
Историја
Дефиниција Нека су дати скуп -{V}- са једном бинарном операцијом у односу на коју има структуру Абелове групе (-{V}-, +) чије елементе зовемо векторима, а неутрални елемент означавамо са -{o}- и називамо нултим вектором, и скуп 𝔽 који има структуру поља (𝔽, +, •) чије елементе називамо скаларима, а неутралне елементе у односу на две операције означавамо са 0 и 1. Нека је даље дефинисано пресликавање, које називамо множење вектора скаларом, 𝔽 × -{V}- → -{V}-, које сваком вектору -{x}- ∈ -{V}- придружује вектор α''''-{x}- ∈ -{V}- тако да важе аксиоми: (закон асоцијације); (закон дистрибуције за сабирање вектора); (закон дистрибуције за сабирање скалара); .
-{V}- се зове векторски простор над пољем 𝔽 и означава се са -{V}-(𝔽).
Дакле, векторски простор -{V}-(𝔽) је алгебарска структура са једном „унутрашњом“ бинарном, комутативном операцијом „+“ (што изражава услов да је -{V}- Абелова група) и једном „спољном“ операцијом (множење вектора скаларом из поља 𝔽). Пошто су чланови скупа -{V}-, условно речено, произвољни објекти, као што је и 𝔽 произвољно поље, битно је уочити да операција у групи (-{V}-, +) у општем случају не мора бити „стандардно“ сабирање како је дефинисано рецимо на скупу реалних бројева или геометријских вектора, као што ни множење вектора скаларом не мора бити стандардно дефинисана операција множења геометријског вектора бројем — то могу бити било које операције које задовољавају наведене услове.
Када је 𝔽 = ℝ (скуп реалних бројева), уобичајено је да се -{V}-(ℝ) назива реалним векторским простором, а када је 𝔽 = ℂ (скуп комплексних бројева), тј. -{V}-(ℂ), комплексним векторским простором.
мини|десно|Множење вектора -{a}- скаларом. Лево: вектор је помножен са −1; десно: вектор је помножен са 2. Из дефиниције векторског простора директно следи неколико једноставних последица које олакшавају рачунања са векторима. Нека је дат простор -{V}-(𝔽) — тада важи
Наравно, и у векторском простору важе све последице аксиома групе, као што су јединственост неутралног и инверзног елемента.
Примери Поље реалних бројева Скуп реалних бројева над пољем реалних бројева је векторски простор над пољем реалних бројева ℝ(ℝ). Очигледно је да у овом случају векторски простор представља само поље реалних бројева, тј. ℝ(ℝ) = ℝ, што би геометријски могло да се изрази тврдњом да реална права представља векторски простор над пољем реалних бројева.
Простор бројних колона Простор бројних колона (или аритметички простор) ℝ-{n}-(ℝ) је реални векторски простор ако су сабирање вектора и множење вектора скаларом дефинисани на следећи начин:
Очигледно је да се у случају ℝ1 овај пример своди на претходни. Потпуно аналогно важи и за простор ℂ-{n}-.
Међутим, ако би множење вектора скаларом у истом простору било дефинисано, рецимо, као
дати простор не би био векторски јер
што не задовољава аксиому 3 (дистрибутивност за сабирање скалара).
Простор функција Ако је -{X𝔽}- скуп свих функција дефинисаних на произвољном непразном скупу -{X}- са вредностима у пољу 𝔽 и ако су дефинисани сабирање функција
и множење функција скаларом
-{X𝔽}- је векторски простор функција над пољем 𝔽.
Фазни простор честице У класичној механици стање честице је одређено векторима положаја -{r}- = (-{x, y, z}-) и импулса -{p}- = (-{px, py, pz}-), у физичком простору, односно вектором (-{x, y, z, px, py, pz}-) у такозваном фазном простору. Битна карактеристика фазног простора класичне честице је та да он у општем случају није векторски простор: збир два вектора стања честице не мора бити, и често није, неко ново могуће стање честице. У квантној механици, пак, простор стања је увек векторски простор (Хилбертов простор) — суперпозиција два стања система је увек могуће ново стање система.
Базис и димензија Како обе операције дефинисане на векторском простору дају нови вектор датог простора, сваки подскуп датог простора генерише један шири скуп који је и даље подскуп почетног простора. У посебним случајевима подскуп може да генерише читав простор, па се проучавање простора може свести на проучавање подскупа. Један такав подскуп простора се назива базис (или база) простора.
Линеарна комбинација вектора мини|десно|Вектор -{u}- је линеарна комбинација вектора -{v1}- и -{v2}- и зависи од вредности коефицијената -{x}- и -{y}-. За дефинисање базиса неопходно је увести појмове линеарне комбинације и линеарне независности вектора.
Ако је -{X = {x1, x2, ...}}- подскуп векторског простора -{V}-(𝔽), линеарна комбинација вектора из -{X}- је сваки вектор облика
где се елементи -{αi}- зову коефицијенти комбинације. Скуп свих линеарних комбинација вектора из -{X}- зове се линеал (или линеарни омотач) над -{X}- и обележава се са -{L(X)}-. Скуп -{X}- може бити и бесконачан — битно је само да линеарне комбинације буду коначне. -{X}- је образујући скуп ако је -{L(X)}- = -{V}-(𝔽), дакле ако се сваки вектор простора може представити линеарном комбинацијом вектора из подскупа -{X}-.
Скуп -{X}- је линеарно независан ако за све линеарне комбинације из -{L(X)}- важи
У противном, тј. ако постоји линеарна комбинација из -{L(X)}- која је једнака нултом вектору а да је притом бар један коефицијент различит од 0, -{X}- је линеарно зависан скуп.
Неке од битних последица изнете дефиниције су: Празан скуп вектора је линеарно независан. Ако скуп вектора садржи нулти вектор, онда је дати скуп линеарно зависан. Ако су два ненулта вектора линеарно зависни, онда су колинеарни. Подскуп линеарно независног скупа је и сам линеарно независан.
Посебно се издваја следећа последица: Скуп -{X}- ненултих вектора је линеарно зависан ако и само ако садржи бар један вектор који се може изразити као линеарна комбинација осталих вектора из датог скупа; Скуп вектора -{X}- је линеарно независан ако и само ако је репрезентација сваког вектора из линеала над датим скупом у облику линеарне комбинације јединствена.
Примери Два ненулта неколинеарна вектора у равни су линеарно независни и генеришу дату раван. Међутим, три вектора у равни су линеарно зависни, а генеришу раван уколико нису сви колинеарни. Из овог примера се види независност особине генеративности и линеарне независности.
У простору полинома -{Pn(𝔽)}-, скуп вектора је линеарно независан јер из идентитета следи -{αi}- = 0 за свако -{i}-. При томе су сви полиноми степена мањег од -{n}- линеарна комбинација ових вектора па је дати скуп образујући за простор -{Pn(𝔽)}-.
База
мини|десно|Вектори -{v1}- и -{v2}- образују раван и линеарно су независни. Свака од различитих комбинација ових вектора је један базис у равни, а вектор -{u}- је могуће изразити као линеарну комбинацију базисних вектора. Из примера са линеарно независним векторима у равни може се наслутити да максималан број линеарно независних вектора у простору одговара ономе што се у геометрији назива димензијом. Појам базиса омогућава да се геометријски концепт димензионалности уопшти у теорији векторских простора.
Базис векторског простора -{V}- је сваки његов линеарно независан и образујући подскуп. У сваком векторском простору постоји континуум (непребројиво бесконачно много) базиса, осим у случају простора који садржи само нулти вектор, али сваки од њих има исти број елемената. О томе говори следећа теорема: Кардиналност једног базиса векторског простора -{V}- је једнака кардиналности било ког другог базиса простора -{V}-.
Значај базиса као образујућег и линеарно независног скупа, па самим тиме и најмањег образујућег скупа, је у томе што се сви остали вектори у датом простору могу представити као линеарне комбинације базисних вектора. То, као што је речено, омогућава да се проучавање простора сведе на проучавање базиса.
Нека је дат базис -{B = (v1, ..., vn)}- у векторском простору -{V}-(𝔽) и нека је дат вектор -{x ∈ V}-(𝔽) који је линеарна комбинација базисних вектора:
Скалари ξi називају се координатама вектора -{x}- у базису -{B}-. Сваки вектор у датом простору, дакле може имати различите координате у зависности од избора базиса, међутим — сваки вектор има јединствене координате у датом базису.
Битна особина претходне дефиниције је да је базис задат као уређени скуп вектора, а не као обичан скуп, јер различит распоред базисних вектора даје и различит распоред координата, па у супротном координате у датом базису не би биле једнозначно одређене.
Димензија Димензија векторског простора -{V}-(𝔽) је кардиналност било ког његовог базиса. За просторе са коначном димензијом се каже да су коначнодимензионални, а са бесконачном да су бесконачнодимензионални. Простор који се састоји само од нултог вектора је димензије нула.
За димензију векторског простора -{V}- користи се ознака -{dim V}- (понекад и |-{V}-|). Када се -{V}- може посматрати као векторски простор над различитим пољима, користи се ознака -{dim𝔽 V}- да би се нагласило на које поље се мисли. Када се у ознаци векторског простора наглашава да је он -{n}--димензионалан пише се -{Vn}-(𝔽).
Линеарна алгебра углавном проучава коначнодимензионалне просторе, док се бесконачнодимензионалним пре свега бави функционална анализа јер се они најчешће појављују као простори функција.
Репрезентовање Како се задавањем базиса једнозначно одређују координате сваког вектора у неком простору, и како су координате елементи поља над којим је простор дефинисан, интуитивно се намеће идеја да сваки вектор може бити представљен неким уређеним скупом одговарајућих елемената поља, тј. његовим координатама. Како би се ово представљање формално дефинисало потребно је увести појам изоморфних простора.
Векторски простор -{V}-(𝔽) је изоморфан векторском простору -{V}-′(𝔽) ако постоји бијекција -{f}-: -{V}- → -{V}-′ (пресликавање 1-на-1 из скупа -{V}- у скуп -{V}-′) таква да важи
Бијекцију -{f}- називамо изоморфизмом. Изоморфност два простора обележавамо са