мини|130п|Питагорина теорема: Збир површина квадрата конструисаних над катетама (-{a}- и -{b}-) једнак је површини квадрата над хипотенузом (-{c}-). У математици, Питагорина теорема изражава везу која постоји између три странице правоуглог троугла у еуклидској геометрији. Ако су -{a}- и -{b}- катете, а -{c}- хипотенуза правоуглог троугла, важи једнакост

односно, исказано речима:

Теорема је добила име према старогрчком математичару Питагори, за кога се, традиционално, сматра да ју је открио и доказао,Heath, -{A History Of Greek Mathematics, volume I}-, иако је данас извесно да је била позната много пре Питагоре.

Питагорина теорема је једна од основних и најзначајнијих математичких теорема. Препознатљива слика правоуглог троугла са конструисаним квадратима над све три странице, коришћена за визуелни приказ самог тврђења, послужила је као основа за генерисање фрактала који се назива Питагорино дрво.

Историја мини|300п|Визуелни доказ Питагорине теореме за троугао чије су странице Питагорина тројка (3, 4, 5) из једног од најстаријих кинеских математичких текстова, 500–200 пне. Историјски посматрано, откриће и разумевање Питагорине теореме је прошло кроз неколико етапа: алгебарско истраживање постојања Питагориних тројки, боље упознавање односа између страница правоуглог троугла, односно односа између суседних углова троугла, које је последица стицања све већих знања о равнима и површима и налажење великог броја различитих доказа теореме.

Древне цивилизације Веза која постоји између страница троугла чије су дужине 3, 4 и 5 била је позната још Вавилонцима, 2000. п. н. е. а може се наћи и у чувеној кинеској књизи Девет књига о математичкој вештини за коју се претпоставља да је написана око 1100. п. н. е.Smith, -{History of Mathematics, volume II}-,

Чувена вавилонска глинена плочица која носи број 322 у колекцији Плимптона је таблица Питагориних тројки са 15 редова настала 1800. п. н. е. Стари Египћани су знали за четири Питагорине тројке, о чему сведочи папирус датиран у време владавине -{XII}- династије, око 2000. п. н. е. у коме је, између осталог, могуће наћи и релацију .

Она је еквивалентна Питагориној тројки (3, 4, 5) ако се израз прошири да би се ослободио од разломака.

Питагорине тројке могу се наћи и у Сулвасутрама, светим песмама Хиндуса, из периода 5 — 4. век п. н. е, које говоре о начину добијања правих углова помоћу ужета са 3-4-5, односно 12-16-20, 15-20-25, 5-12-13, 15-36-39, 8-15-17 и 12-35-37 чворова везаних на једнаким растојањима. Коришћење конопца за одређивање правог угла имало је у давна времена своју практичну примену у нпр. парцелисању земљишта, а људи који су се тиме бавили називани су затезачима конопца (, -{harpedonaptai}-).Стројк, Кратак преглед историје математике, Међутим, према неким ауторима, мало је вероватно да су Египћани заиста користили уже са 12 чворова за одређивање правог угла, и нема очигледних доказа да су знали да је троугао са страницама (3, 4, 5) правоугли.

Питагора Традиционално, откриће теореме се приписује Питагори, старогрчком филозофу и научнику, о коме се данас зна посредно, преко каснијих извора. Према њима, Питагора је рођен око 570. п. н. е. на острву Самос, вероватно је био Талесов ученик, а један део свог живота провео је путујући Египтом и Персијом, да би се, по повратку на родни Самос, сусрео са тиранском владавином Поликрата, што је, сматра се, био разлог да се пресели у Кротон где је основао чувену Питагорејску школу. Питагорејци су тврдили да је теорему открио управо Питагора, и да је, у знак захвалности, жртвовао боговима стотину бикова.Стројк, Кратак преглед историје математике, Проблем са прецизним утврђивањем праве истине је последица чињенице да су Питагорејци преносили усменим путем стечена знања која су сматрана светим и строго су чувана. Поред тога, често су се нова открића приписивала великом учитељу, док је прави проналазач остајао непознат. У прилог томе стоји чињеница да се у исказу теореме који се појављује у Еуклидовим Елементима нигде не спомиње Питагорино име. Данас постоји неколико хипотеза: Питагора је преузео теорему од Вавилонаца, односно само је био посредник између знања која су долазила са Истока и Грка. Иако је, према античким изворима, Питагора посетио Египат и Вавилон, те информације нису поуздане. Питагора је формулисао и по први пут доказао теорему независно од вавилонских извора. Овај приступ је био широко прихваћен у древна времена. Питагора је за теорему чуо на својим путовањима, али је био први човек који је и доказао. Сасвим је јасно да ни Египћани ни Вавилонци нису ишли даље од свакодневне примене теореме у практичне сврхе. На пример, у Каирском папирусу, откривеном 1938. године, и дешифрованом 1962. године, налази се 40 математичких задатака од којих је девет решено употребом Питагорине теореме. Један од тих задатака гласи: „Мердевине дугачке 10 лаката наслоњене су на зид тако да је њихово подножје удаљено 6 лаката од ивице зида. До које висине се пружају те мердевине?“ Међутим, иако се при решавању проблема користи теорема, нема покушаја да се она уопшти, нити да се докаже. Питагора није учествовао у открићу теореме, већ су први доказ нашли његови ученици.

Прво сачувано дело у коме се Питагора повезује са исказом теореме је Плутархов Етички зборник - Моралија, написан крајем првог или почетком другог века н. е. У њему се цитирају стихови из једног несачуваног Аполодоровог дела из другог века п. н. е. Према Плутарху,

Исте стихове наводи и Атенај из Неукратиса, у свом делу Гозба учених, почетком трећег века н. е.

Следбеници Први писани доказ Питагорине теореме појављује се тек 150 година касније, у првој и шестој књизи Еуклидових Елемената, при чему је, према Проклу, доказ из шесте књиге једини оригинални Еуклидов доказ у Елементима, док је доказ из прве књиге приписан Еудоксу.

Око 250. п. н. е. Архимед апроксимира вредност броја пи користећи Питагорину теорему и уписане и описане полигоне у круг. У 2. веку п. н. е, Клаудије Птолемеј у свом Алмагесту доказује теорему: „Производ дијагонала тетивног четвороугла једнак је збиру производа његових наспрамних ивица.“ Одавде се, у специјалном случају када је тетивни четвороугао у ствари правоугаоник, добија Питагорина теорема.

Херон из Александрије је каснијеЗбог недостатка извора тешко је одредити када се то тачно десило. Према књизи -{The Pythagorean Theorem - A 4000 Year History}- у питању је период између 100. п. н. е. и 100. године н. е. доказао формулу којом се може израчунати површина произвољног троугла преко његових страница коришћењем пропорција. Данас се та формула доказује коришћењем Питагорине теореме.

У 3. веку н. е. Папос доказује проширену верзију Питагорине теореме која важи за произвољан троугао, а шест векова касније, Ал Харани даје доказ још једне генерализације која је примењива на произвољан троугао.

Формулација теореме мини|200п|Визуелни доказ Питагорине теореме Према теореми: У било ком правоуглом троуглу, површина квадрата конструисаног над хипотенузом (страницом која се налази насупрот правог угла) је једнака збиру површина квадрата конструисаних над катетама (страницама које се сустичу у правом углу троугла).

Овај исказ се обично наводи у следећем облику:

Уколико је са -{c}- означена дужина хипотенузе, а са -{a}- и -{b}- дужине преостале две странице, теорема се може записати помоћу следеће једнакости:

или, ако се одатле изрази -{c}-:

Ако је хипотенуза -{c}- позната, а треба одредити једну од катета, могуће је користити неку од следеће две једнакости (које се добијају из полазне једнакости, решавањем по одговарајућој непознатој):

или

Из наведених једнакости може се приметити да је веза између страница правоуглог троугла таква да, у случају да је једна од њих непознате дужине, може се одредити помоћу преостале две познате странице. Генерализација ове теореме, позната као косинусна теорема, омогућава израчунавање дужине треће странице произвољног троугла, уколико су познате дужине преостале две странице и величина угла које оне захватају, што је једна од поставки задатка који се назива решавање троугла. Уколико познате странице одређују прав угао, косинусна теорема се своди на Питагорину теорему.

Нееуклидске геометрије мини|130п|Сферни троугао

У сферној геометрији, на јединичној сфери, за правоугли сферни троугао -{ABC}- коме су дужине страница редом -{a}-, -{b}- и -{c}-, Питагорина теорема има облик

Уколико је полупречник сфере дужине , једнакост постаје Ова једнакост се добија као специјалан случај косинусне теореме за сферни троугао. Уколико се косинусна функција развије помоћу Маклореновог реда, могуће је показати да ће се наведени облик Питагорине теореме приближавати свом еуклидском еквиваленту када полупречник сфере тежи бесконачности.

У хиперболичкој равни представљеној Поенкареовим моделом диска, уколико је троугао -{ABC}- правоугли са катетама -{a}-, -{b}- и хипотенузом -{c}-, Питагорина теорема има облик За доказ погледати при чему је хиперболички косинус дефинисан са

Хилбертови простори

Уобичајена норма на реалном еуклидском простору се уводи помоћу скаларног производа. Векторски простор са нормом уведеном помоћу скаларног производа се назива пред-Хилбертовим простором. Ако је пред-Хилбертов простор комплетан у односу на своју метрику, назива се Хилбертовим простором. Ово је увек случај у коначнодимензионим просторима какав је , али бесконачнодимензиони пред-Хилбертови простори не морају бити Хилбертови.

Уколико је у реалном простору са скаларним производом (пред-Хилбертовом простору) уведена норма вектора са , уз одговарајуће особинеЗа особине погледати Д. Аднађевић, З. Каделбург,Математичка анализа -{II}-, , онда за ортогоналне векторе и Питагорина теорема добија облик .

Докази Питагорина теорема је вековима служила као инспирација за нове математичке доказе, које су проналазили и људи који нису били професионални математичари. У књизи Питагорино тврђење () Илише Скота Лумиса (), изворно објављеној 1927. године, која је допуњена новим доказима 1940. године, могуће је наћи све познате доказе до њеног објављивања, укупно њих 371. Између осталих ту су наведени Питагорин и Еуклидов доказ, затим најкраћи и најдужи доказ који се приписују Лежандру, Птолемејев, Леонардов, Хајгенсов и Лајбницов доказ као и доказ Џејмса Гарфилда, из времена пре него што је постао председник САД.

Питагорин доказ Иако постоје материјални докази да је веза између катета и хипотенузе правоуглог троугла била позната још древним цивилизацијама, оно што је одлучило да теорема понесе Питагорино име је чињеница да ју је он први доказао. Међутим, како у његово време није било адекватног материјала за записивање, стечена знања су се код питагорејаца преносила усменим путем, те не постоји поуздан извор на основу кога би са сигурношћу могло да се тврди како је изгледао оригинални Питагорин доказ. Еуклид је у својим Елементима дао два доказа теореме, најпре у првој књизи,Еуклид, Елементи, књига -{I}-, тврђење -{XLVII}- , Приступљено 23. 4. 2013. доказ који се у потпуности заснива на односима површина, а затим и у шестој књизи,Еуклид, Елементи, књига -{VI}-, тврђење -{XXXI}- , Приступљено 23. 4. 2013. доказ који користи сличност и знатно је једноставнији. С обзиром да геометрија у време Питагоре није била довољно развијена, мало је вероватно да је он користио први доказ, а ако је користио други, онда он није био комплетан, пошто је потпуну теорију сразмерности дао тек Еудокс, који је живео два века после Питагоре. Са друге стране, врло је вероватно да је Питагора најпре доказао теорему у случају једнакокраког правоуглог троугла, пошто је тај доказ био познат још Хиндусима, те га је могао чути на својим путовањима по Медитерану. Да ли је доказао и општи случај није познато, али се претпоставља да га је разматрао. Традиционално му се приписује доказ општег случаја који је био познат још у древној Кини.

Еуклидови докази