мини|десно|350п|Горе: У S удаљеност између свемирских бродова остаје иста, док се нит скупља. Доле: У S′ удаљеност између свемирских бродова се повећава, док дужина нити остаје иста. Белов парадокс свемирског брода је мисаони експеримент у специјалној релативности. Први пут су га описали Е. Деван и М. Беран 1959. године, али је постао шире познат након што је Џон Стјуарт Бел даље разрадио ову идеју 1976. године.J. S. Bell: How to teach special relativity, Progress in Scientific culture 1(2) (1976), pp. 1–13. Reprinted in J. S. Bell: Speakable and unspeakable in quantum mechanics (Cambridge University Press, 1987), chapter 9, Осетљива нит виси између два свемирска брода који у почетку мирују у инерцијалном референтном систему S. Они почињу да убрзавају у истом смеру истовремено и једнако, мерено у S, тако да имају исту брзину у сваком тренутку како се види из S. Зато су сви подложни истој Лоренцовој контракцији, па изгледа да је читав склоп једнако скупљен у систему S у односу на почетну дужину. На први поглед, могло би изгледати да нит неће пући током убрзања.

Овај аргумент је, међутим, нетачан, као што су показали Деван и Беран, а касније и Бел. Растојање између свемирских бродова не пролази кроз Лоренцову контракцију у односу на почетно растојање, јер је у S оно ефективно дефинисано тако да остане исто, због једнаког и истовременог убрзања оба свемирска брода у S. Такође се испоставља да се сопствена дужина између њих повећала у системима у којима су тренутно у стању мировања (S′), јер убрзања свемирских бродова овде нису истовремена због релативности истовремености. Нит, с друге стране, будући да је физички објекат који на окупу држе електростатичке силе, задржава исту сопствену дужину. Тако, у систему S, она мора проћи кроз Лоренцову контракцију, резултат који се такође може извести када се разматрају електромагнетна поља тела у покрету. Дакле, прорачуни направљени у оба система показују да ће нит пући; у S′ због неистовременог убрзања и све веће удаљености између свемирских бродова, а у S због контракције дужине нити.

У даљем тексту, сопствена дужина објекта је његова дужина мерена у систему мировања тог објекта. (Ова дужина одговара сопственој удаљености између два догађаја у специјалном случају, када се ти догађаји мере истовремено на крајњим тачкама у систему мировања објекта.)

Деван и Беран Деван и Беран су формулисали мисаони експеримент написавши: „Замислимо две идентично конструисане ракете у стању мировања у инерцијалном систему S. Нека буду окренуте у истом смеру и смештене једна иза друге. Ако претпоставимо да се у унапред договорено време обе ракете истовремено (у односу на S) покрећу, тада су њихове брзине у односу на S увек једнаке током остатка експеримента (иако су функције времена). То по дефиницији значи да се у односу на S растојање између две ракете не мења чак ни када убрзају до релативистичких брзина.”

Затим се ова поставка понавља, али овог пута је задњи део прве ракете повезан са предњим делом друге ракете свиленом нити. Закључили су: „Према специјалној теорији, нит се мора скупити у односу на S јер има брзину у односу на S. Међутим, пошто ракете одржавају константно растојање у односу на S, нит (за коју смо претпоставили да је затегнута на почетку) не може да се скупи: стога се мора створити напрезање све док за довољно велике брзине нит коначно не достигне своју границу еластичности и не пукне.”

Деван и Беран су такође расправљали о резултату са становишта инерцијалних система који се тренутно крећу заједно са првом ракетом, применом Лоренцове трансформације: „Пошто је , (..) сваки систем који се овде користи има другачију шему синхронизације због фактора . Може се показати да како се повећава, предња ракета не само да ће изгледати као да је на већој удаљености од задње ракете у односу на тренутни инерцијални систем, већ и да је кренула у ранијем тренутку.”

Закључили су:

„Може се закључити да кад год је тело принуђено да се креће на такав начин да сви његови делови имају исто убрзање у односу на инерцијални систем (или, алтернативно, на такав начин да су у односу на инерцијални систем његове димензије фиксне, и нема ротације), тада такво тело генерално мора да доживи релативистичка напрезања.”

Затим су расправљали о приговору да не би требало да буде разлике између а) растојања између два краја повезаног штапа, и б) растојања између два неповезана објекта која се крећу истом брзином у односу на инерцијални систем. Деван и Беран су отклонили те приговоре аргументујући: Пошто су ракете конструисане на потпуно исти начин, и стартују у истом тренутку у S са истим убрзањем, оне морају имати исту брзину све време у S. Дакле, оне прелазе исте раздаљине у S, па се њихово међусобно растојање не може променити у овом систему. У супротном, ако би се растојање скупило у S, онда би то имплицирало различите брзине ракета у овом систему, што је у супротности са почетном претпоставком о једнакој конструкцији и убрзању. Такође су тврдили да заиста постоји разлика између а) и б): Случај а) је обичан случај контракције дужине, заснован на концепту сопствене дужине штапа l0 у S0, која увек остаје иста све док се штап може сматрати крутим. Под тим околностима, штап је скупљен у S. Али растојање се не може сматрати крутим у случају б) јер се повећава због неједнаких убрзања у S0, и ракете би морале да размењују информације једна са другом и прилагођавају своје брзине како би то компензовале – све те компликације се не јављају у случају а).

Бел мини|десно|200п|Вертикални распоред који је предложио Бел. У Беловој верзији мисаоног експеримента, три свемирска брода A, B и C у почетку мирују у заједничком инерцијалном референтном систему, при чему су B и C једнако удаљени од A. Затим се шаље сигнал са A који истовремено стиже до B и C, узрокујући да B и C почну да убрзавају у вертикалном смеру (будући да су унапред програмирани са идентичним профилима убрзања), док A остаје да мирује у свом оригиналном референтном систему. Према Белу, ово имплицира да ће B и C (како се види у систему мировања брода A) „имати у сваком тренутку исту брзину, и тако остати померени један од другог за фиксирану удаљеност.” Сада, ако се осетљива нит веже између B и C, она више није довољно дуга због контракције дужине, те ће стога пући. Закључио је да „вештачко спречавање природне контракције намеће неподношљив стрес”.

Бел је известио да је наишао на велики скептицизам код „истакнутог експериментатора” када је представио парадокс. Да би покушали да реше спор, спроведена је неформална и несистематска анкета о мишљењима у ЦЕРН-у. Према Белу, постојао је „јасан консензус” који је тврдио, нетачно, да нит неће пући. Бел даље додаје: „Наравно, многи људи који на почетку добију погрешан одговор добију тачан након даљег размишљања. Обично се осећају обавезним да израчунају како ствари изгледају посматрачима B или C. Они откривају да B, на пример, види како C све више и више заостаје, тако да дати комад нити више не може да премости удаљеност. Тек након што ово схвате, и можда само са преосталим осећајем нелагоде, такви људи коначно прихватају закључак који је потпуно тривијалан из угла A-овог описа ствари, укључујући Фицџералдову контракцију.”

Важност контракције дужине Генерално, Деван, Беран и Бел су закључили да релативистичка напрезања настају када се сви делови објекта убрзавају на исти начин у односу на инерцијални систем, и да контракција дужине има стварне физичке последице. На пример, Бел је тврдио да се контракција дужине објеката, као и недостатак контракције дужине између објеката у систему S, може објаснити помоћу релативистичког електромагнетизма. Изобличена електромагнетна међумолекулска поља узрокују да се објекти у покрету скупљају, или да постану напрегнути ако су спречени да то учине. Насупрот томе, никакве такве силе не делују на простор између објеката. (Генерално, Ричард Фајнман је демонстрирао како се Лоренцова трансформација може извести из случаја потенцијала наелектрисања које се креће константном брзином (што је представљено Лијенар-Вихертовим потенцијалом). Што се тиче историјског аспекта, Фајнман је алудирао на околност да је Хендрик Лоренц дошао до Лоренцове трансформације на суштински исти начин, види такође Историја Лоренцових трансформација.)

Међутим, Петков (2009) и Френклин (2009) тумаче овај парадокс другачије. Они су се сложили са резултатом да ће нит пући због неједнаких убрзања у системима ракета, што узрокује повећање сопствене дужине између њих (види Минковскијев дијаграм у одељку за анализу). Ипак, одбацили су идеју да су та напрезања узрокована контракцијом дужине у S. То је зато што, по њиховом мишљењу, контракција дужине нема „физичку стварност”, већ је само резултат Лоренцове трансформације, тј. ротације у четвородимензионалном простору која сама по себи никада не може изазвати никакво напрезање. Дакле, појава таквих напрезања у свим референтним системима укључујући S и пуцање нити требало би да буде последица искључиво релативистичког убрзања.

Анализа Пол Навроцки (1962) даје три аргумента зашто нит не би требало да пукне, док је Едмонд Деван (1963) у одговору показао да његова првобитна анализа и даље остаје важећа. (Напомена: ова референца такође садржи прво представљање парадокса лествица.) Много година касније и након Белове књиге, Мацуда и Киношита су известили да су добили много критика након што су објавили чланак о њиховој независно поново откривеној верзији парадокса у једном јапанском часопису. Мацуда и Киношита не цитирају конкретне радове, већ само наводе да су ти приговори написани на јапанском. eprint верзија

Међутим, у већини публикација постоји слагање да ће нит пући, уз неке преформулације, модификације и различите сценарије, као што су то урадили Ивет и Вангснес (1960), Деван (1963), Ромен (1963), Ивет (1972), Герштејн и Логунов (1998), Тартаља и Руђеро (2003), Корнвел (2005), Флорес (2005), Семај (2006), Стајер (2007), Фројнд (2008), Реџић (2008), Перегудов (2009), Реџић (2009), Гу (2009), Петков (2009),Vesselin Petkov (2009): Accelerating spaceships paradox and physical meaning of length contraction, , објављено у: Френклин (2009), Милер (2010), Фернфлорес (2011), Каснер (2012), Натарио (2014), Луис, Барнс и Стика (2018), Бокор (2018). Сличан проблем је такође разматран у вези са угаоним убрзањима: Грен (1979), Макгрегор (1981), Грен (1982, 2003).

Тренутно убрзање

Слично, у случају Беловог парадокса свемирског брода однос између почетне сопствене дужине између бродова (која је идентична дужини у покрету у S након убрзања) и нове сопствене дужине у S′ након убрзања, јесте:

.

Ово повећање дужине се може израчунати на различите начине. На пример, ако је убрзање завршено, бродови ће стално остати на истој локацији у коначном систему мировања S′, тако да је потребно само израчунати растојање између x-координата трансформисаних из S у S′. Ако су и позиције бродова у S, њихове позиције у њиховом новом систему мировања S′ су:

Други метод је приказао Деван (1963) који је демонстрирао важност релативности истовремености. Описана је перспектива система S′, у којој ће оба брода бити у стању мировања након што се убрзање заврши. Бродови убрзавају истовремено у у S (претпостављајући убрзање у инфинитезимално кратком времену), иако B убрзава и зауставља се у S′ пре A због релативности истовремености, са временском разликом: