У геометрії нерівності трикутників — це нерівності, що включають параметри трикутників. Причому трикутники можуть бути довільними або такими, що задовольняють певні умови. Параметрами в таких нерівностях можуть бути довжини сторін, периметр, площа, міри кутів, значення тригонометричних функцій цих кутів, довжини медіан, висот, бісектрис, серединних перпендикулярів трикутника, радіуси вписаного, зовнівписаного та описаного кіл тощо.
Якщо не вказано інше, у цій статті розглядаються трикутники на площині.
Основні параметри та позначення Параметри, які найчастіше зустрічаються в нерівностях трикутників: — довжини сторін; — півпериметр (половина периметру); — міри кутів у вершинах, розташованих навпроти відповідних сторін і (вершини позначаються тими ж символами, що і міри їх кутів); — площа; — медіани, проведені до відповідних сторін ; — висоти, проведені до відповідних сторін ; — бісектриси, проведені до відповідних сторін ; — серединні перпендикуляри відповідних сторін ; — радіус вписаного кола; — радіус описаного кола; — радіуси зовні вписаних кіл, які дотикаються до відповідних сторін .
Довжини сторін Базова нерівність трикутника:
З неї випливає наступна нерівність:
Також
де межа у правій частині є найменшою з можливих, а ліва нерівність, яка виконується для всіх додатних , є нерівністю Несбіта.
Інші нерівності для довільних трикутників:
Якщо кут тупий (більше 90°), то
Якщо кут гострий (менше 90°), то
Якщо центроїд трикутника лежить всередині вписаного кола, то
Кути Будь-які два кути і , протилежні сторонам і відповідно, пов'язані між собою наступним чином: тоді й лише тоді, коли
Наслідок з теореми про зовнішній кут:
Якщо точка знаходиться всередині трикутника, то
Нерівності трикутників з тригонометричними функціями:
причому рівність виконується лише у випадку, коли трикутник правильний.
причому рівність виконується тоді й лише тоді, коли трикутник рівнобедрений з кутом при вершині не меншим за 60°,
причому рівність виконується тоді й лише тоді, коли трикутник рівнобедрений з кутом при вершині не більшим за 60°;
і аналогічно для кутів , причому в першій частині рівність виконується тоді й лише тоді, коли трикутник рівнобедрений і має кут при вершині не менше 60°, у другій частині рівність виконується тоді й лише тоді, коли трикутник рівнобедрений з кутом при вершині не більше 60°.
Якщо трикутник гострокутній, то
Якщо трикутник тупокутній, то
Якщо трикутник негострокутній, то
причому рівність досягається тоді й лише тоді, коли трикутник має прямий кут при вершині .
Площа — нерівність Вайценбека, у якій рівність виконується лише у випадку, коли трикутник правильний. Цю нерівність можна отримати з , яка має наступний вигляд:
причому нерівність називається ізопериметричною нерівністю трикутника.
— ;
де рівність виконується лише тоді, коли трикутник правильний;
— для гострокутного трикутника;
Нехай — площа вписаного кола. Тоді
причому рівність досягається лише тоді, коли трикутник правильний.: Theorem 4.1
Нехай бісектриси внутрішніх кутів перетинають відповідні протилежні сторони в точках . Тоді
де — площа трикутника .
Медіани Оскільки медіани будь-якого трикутника можуть самі утворити інший трикутник, то
де рівність виконується лише тоді, коли трикутник правильний;Нерівності, запропоновані в «», «Mathematical Reflections», «The American Mathematical Monthly», «», «Die √WURZEL», «», «Five Hundred Mathematical Challenges», «More Mathematical Morsels» та «Old and New Inequalities», .
Нехай — довжини медіан, продовжених до їх перетину з описаним колом трикутника. Тоді
Нехай — центроїд трикутника і продовження відрізків і перетинають описане коло трикутника в точках і відповідно. Тоді
Якщо трикутник гострокутній, то
Якщо трикутник тупокутній, то
Висоти
Оскільки обернені висоти будь-якого трикутника можуть утворити трикутник, то
Бісектриси Нерівність між висотою, бісектрисою та медіаною:
Кути і бісектриси пов'язані наступною нерівністю: Якщо , то
Нехай — продовження відповідних бісектрис до перетину з описаним колом трикутника. Тоді
причому рівність в обох нерівностях досягається лише тоді, коли трикутник правильний;
Нехай — центр вписаного кола трикутника. Тоді
Нехай — центроїд, — центр описаного кола, — ортоцентр і — центр кола дев'яти точок. Тоді для неправильних трикутників справедливі наступні нерівності:
>
Серединні перпендикуляри Якщо то
Відрізки з довільної точки Нехай — довільна точка всередині трикутника. Тоді
при умові, що — найкоротша сторона трикутника;
— нерівність Птоломея;
Нехай — основи перпендикулярів опущених з точки на сторони відповідно. Тоді
— нерівність Ердеша — Морделла,
Нехай — точки, де бісектриси кутів перетинають сторони відповідно. Тоді — нерівність Берроу.
Нехай — основи перпендикулярів опущених з точки на сторони тангенціального трикутника (трикутника, утвореного дотичними до описаного кола трикутника ). Тоді
Нехай — центроїд, — середини сторін. Тоді
Нехай — додатні дійсні числа. Якщо , то
якщо , то
Нерівності з радіусом вписаного кола:
для ,
для .
Нерівності з радіусом описаного кола:
Радіуси вписаного, зовнівписаного та описаного кіл
Радіуси вписаного та описаного кіл
причому нерівність називається нерівністю Ейлера.
де — відстань між центрами вписаного й описаного кіл; причому в першій частині рівність виконується тоді й лише тоді, коли трикутник рівнобедрений і має кут при вершині не менше 60°, в другій частині рівність виконується тоді й лише тоді, коли трикутник рівнобедрений з кутом при вершині не більше 60°.
Радіус описаного кола та інші довжини
— нерівність Бландона;
де — перша і друга точки Брокара відповідно.
Радіуси вписаного і зовнівписаного кіл та інші довжини
Прямокутний трикутник Нехай — гіпотенуза прямокутного трикутника, та — його катети. Тоді
Вписані фігури
Вписаний шестикутник
Нехай — півпериметр шестикутника утвореного дотичними до вписаного кола трикутника так, що три його сторони збігаються з частинами сторін трикутника, а інші сторони паралельні відповідним сторонам трикутника. Тоді
Вписаний трикутник Нехай точки , які лежать на відповідних сторонах трикутника , є вершинами трикутника, який розбиває заданий трикутник на чотири трикутники, які мають площі відповідно. Тоді
Рівність виконується коли точки утворюють серединний трикутник.
Вписані квадрати
Нехай у гострокутний трикутник вписано три квадрати, у кожного з яких одна сторона збігається з частиною сторони заданого трикутника, а дві інші вершини квадрата лежать на двох інших сторонах трикутника (прямокутний трикутник має лише два різних вписаних квадрати). Якщо один з цих квадратів має довжину сторони , а інший — , причому то
Лінія Ейлера Лінія Ейлера трикутника проходить через його ортоцентр, центр описаного кола, центроїд, але не проходить через його центр вписаного кола, якщо трикутник не є рівнобедреним. Для не рівнобедрених трикутників відстань від центру вписаного кола до лінії Ейлера задовольняє наступним нерівностям:
Причому межа є найменшою з можливих.
Два трикутники для двох трикутників, де один має сторони та площу , а інший — сторони та площу , стверджує, що
причому рівність виконується тоді й лише тоді, коли задані трикутники подібні.
стверджує, що якщо дві сторони одного трикутника конгруентні двом сторонам іншого трикутника, причому прилеглий кут першого більший за прилеглий кут другого, то третя сторона першого трикутника довша за третю сторону другого трикутника. Тобто, у трикутниках і зі сторонами і відповідно (де сторона навпроти кута і т. д.), якщо і і , то
Зворотне також справедливе: якщо , то .
Кути двох трикутників і пов'язані нерівністю з їх котангенсами:
причому рівність виконується лише тоді, коли задані трикутники подібні.
Неевклідові трикутники Для кутів сферичного трикутника справджується нерівність
а для гіперболічного трикутника навпаки —
Див. також Описаний многокутник
Примітки