Круги Гершгорина — набір кругів на комплексній площині, які локалізують власні значення матриці. Потребують набагато меньше обчислень, ніж обчислення самих власних значень. Вперше були описані в 1931 році Семеном Аноновичем Гершгориним.
Теорема Гершгорина Нехай — комплексна матриця розміру з елементами , позначимо через суму абсолютних значень недіагональных елементів -го рядка (де ):
Розглянемо — круг з центром в і радіусом . Такий круг називається кругом Гершгорина.
Теорема. Кожне власне значення матриці лежить хоча б в одному з кругів Гершгорина .
Доведення. Нехай — власне значення матриці з його власним вектором . Виберемо таке , що — координата з найбільшим по модулю значенням серед всіх координат вектора . Оскільки , для -ої координати цієї рівності:
Перенесемо в інший бік:
Тоді, застосовуючи нерівність трикутника і, використовуючи, що з вибору , отримуємо:
Наслідок. Власні значення матриці також повинні належати кругам Гершгорина , що відповідають стовпцям матриці .
Приклад. Для діагональної матриці, круги Гершгорина мають нульовий радіус і співпадають зі спектром. Вірне і обернене твердження: якщо круги Гершгорина співпадають зі спектром, то матриця діагональна.
Властивості Перетворюючи матрицю, щоб зменшити суму норм недіагональних елементів можна отримати більш точні оцінки власних значень матриці. Діагональні елементи в процесі перетворення можуть змінюватись. Теорема не стверджує, що кожному власному значенню відповідає один круг Гершгорина. В матриці
— яка за побудовою має власні значення з власними векторами , , — легко побачити, що круг для рядка 2 покриває та , тоді як круг для рядка 3 покриває та .
Посилена теорема Гершгорина Теорема: Якщо кругів утворюють зв'язну область, ізольовану від інших кругів, то ця область містить точно , а друга — власних значень матриці .
Доведення. Доведення використовує неперервну залежність власних значень матриці від її коефіцієнтів.
Приклад Для матриці
Використовуючи суми по рядках і стовпцях, отримаємо 4 круга: .
Див. також Критерій регулярності Адамара
Джерела
.