Критерій стійкості Вахітова–Колоколова — це умова лінійної стійкості (іноді також званої спектральною стійкістю) солітарних хвильових розв'язків для широкого класу U(1)-інваріантних гамільтонових систем, названий на честь радянських учених Олександра Колоколова (Александр Александрович Колоколов) і Назіба Вахітова (Назиб Галиевич Вахитов). Умова лінійної стійкості солітарної хвилі з частотою має вигляд

де — заряд (або імпульс ) солітарної хвилі , що зберігається відповідно дотеореми Нетер завдяки U(1)-інваріантності системи.

Початкове формулювання Спочатку цей критерій був отриманий для нелінійного рівняння Шредінгера,

де , , та є гладкою функцією з дійсними значеннями. Розв'язок вважається комплекснозначним. Оскільки рівняння є U (1)-інваріантним, то згідно теореми Нетер воно має інтеграл руху, , який називають зарядом або імпульсом, залежно від моделі, що розглядається. Для широкого класу функцій , нелінійне рівняння Шредінгера має солітарні хвильові розв'язки вигляду , де , а спадає для великих (зазвичай вимагається, щоб належала до простору Соболєва ). Такі рішення зазвичай існують для з певного інтервалу або сукупності інтервалів дійсної прямої. Критерій стійкості Вахітова–Колоколова,

є умовою спектральної стійкості солітарного хвильового розв'язку. Інакше кажучи, якщо ця умова виконується при певному значенні , тоді лінійне наближення поблизу солітарної хвилі з цим не має спектра в правій півплощині.

Цей результат базується на попередній роботі Володимира Захарова.

Узагальнення Цей результат був узагальнений для абстрактних гамільтонових систем з U(1)-інваріантністю. Було показано, що за досить загальних умов критерій стійкості Вахітова-Колоколова гарантує не лише спектральну стійкість, але й орбітальну стійкість одиночних хвиль.

Умова стійкості була узагальнена для біжучих хвильових розв'язків узагальненого рівняння Кортевега-де Фріза виду

.

Умова стійкості також була поширена на гамільтонові системи з більш загальною групою симетрії.

Див. також

Теорема Дерріка Лінійна стійкість Стійкість Ляпунова Нелінійне рівняння Шредінгера Орбітальна стабільність

Посилання