У лінійній алгебрі та геометрії визначником Келі — Менгера називається визначник деяких матриць, що використовується для обчислення гіпероб'єму -вимірного симплекса через довжини всіх його ребер (відстані між його вершинами), подібно як формула Герона (яку можна розглядати як частковий випадок для ) обчислює площу трикутника через довжини його сторін.
Визначник названо на честь Артура Келі та Карла Менгера.
Означення Нехай є точками у -вимірному евклідовому просторі, де . Нехай ці точки належать деякому афінному підпростору розмірності але не належать жодному підпростору розмірності . Якщо позначає евклідову відстань між вершинами та то -вимірний об'єм цього симплексу, можна виразити за допомогою визначників певних матриць:
Визначником Келі — Менгера переважно називають визначник другої матриці (розмірності ) у цій рівності. Перша матриця (розмірності ) є фактично варіантом матриці Грама помноженої на скаляр 2.
Рівність двох визначників одержується за допомогою елементарних перетворень. Нехай позначає першу матрицю, а — другу. Якщо у другий рядок відняти від всіх наступних і другий стовпець відняти від всіх наступних то одержиться матриця в першому рядку і першому стовпці якої всі елементи рівні 0 окрім елементів на других позиціях, які рівні 1. Також у цій матриці нижній головний кутовий мінор порядку є рівним Згідно властивостей визначника, визначник є рівним визначнику . Розкладаючи визначник по першому рядку, а потім по першому стовпцю звідси одержується необхідна рівність:
Приклади Трикутник У випадку , відповідним симплексом є трикутник і є площею трикутника ( часто позначається просто ). Якщо довжини сторін трикутника є рівними , та , то:
Таким чином одержана формула Герона. З останньої рівності випливає, що значення визначника є додатнім якщо і тільки якщо найбільше із чисел , і є меншим, ніж сума двох інших. Це є стандартна вимога для існування трикутника із цими довжинами сторін. Відповідно еквівалентним буде твердження, що для трьох додатних чисел і снує трикутник із такими довжинами сторін, якщо і тільки якщо відповідний визначник Келі — Менгера є додатним.
Тетраедр Для , симплекс називається тетраедром (трикутною пірамідою). Тетраедр має 4 вершини. Нехай вони пронумеровані від 0 до 3 і відстань між вершинами та (довжина відповідного ребра) є рівною . Тоді об'єм тетраедра можна обчислити із рівності:
Ця рівність називається формулою Тартальї.
Доведення теореми про гіпероб'єм Нехай є точками у -вимірному евклідовому просторі, де , що є вершинами деякого симплексу. Нехай позначає евклідову відстань між вершинами та . Вектори є лінійно незалежними оскільки точки є вершинами -вимірного симплекса. Якщо позначити об'єм симплекса, а — об'єм -вимірного паралелепіпеда утвореного векторами , то, як відомо,
Об'єм -вимірного паралелепіпеда утвореного векторами можна обчислити за формулою де позначає матрицю Грама, елементи якої є за означенням , тобто рівні скалярному добутку відповідних векторів.
За означенням , натомість Таким чином матриця Грама для цього випадку пов'язана з першою матрицею з означення (позначимо її ) співвідношенням і тому:
Це доводить формулу для цього визначника і відповідно також визначника Келі — Менгера.
Еквівалентно твердження можна довести прямо для визначника Келі — Менгера. Для цього спершу розглянемо афінний -підпростір у якому лежить симлекс і відповідний векнорний простір. Вибравши базис у цьому просторі із ортогональних векторів початкового простору і ввівши координатну систему на афінному просторі усі відстані між точками будуть такими ж, як у первинному просторі. Тоді для векторів у цих нових координатах об'єм симплекса також одержується церез визначник координатних стовпців: де позначає матрицю стовпцями якої є координати відповідних векторів.
Розписуючи координати векторів через координати відповідних точок через мультилінійність визначника одержується ще одна еквівалентна рівність:
Визначник у цій рівності є рівним визначнику матриці розмірності :де — позначає квадрат довжини вектора . Крім того визначник матриці розмірності є рівним .
Остаточно:
Інші властивості та застосування
Симплекси із заданими відстанями між вершинами Якщо є є вершинами -вимірного симплекса у -вимірному евклідовому просторі, де , і є відстані між ними, то визначник Келі — Менгера є рівним добутку додатного числа на квадрат гіпероб'єму симплекса і на число а отже його знак є рівним . Більш того це твердження є правильним і для будь якої підмножини цих точок. Зокрема для точок їх визначник Келі — Менгера є рівним верхньому кутовому головному ідеалу порядку визначника Келі — Менгера для точок . Відповідно всі верхні кутові головні мінори починаючи з другого визначника Келі — Менгера для довжин ребер симплекса мають знак де є розмірністю мінора. Для матриці Грама одержаної через довжини сторін натомість визначник і всі верхні кутові головні мінори є додатними.
Навпаки, якщо задано додатних чисел із них можна сформувати симетричну матрицю розмірності у якої -ий діагональний елемент є рівним , а не діагональні елементи на позиції (а також, відповідно, ) є рівним Якщо у цієї матриці всі верхні кутові головні мінори є додатними то згідно критерія Сильвестра вона є додатноозначеною. Відповідно вона є рівною добутку для деякої невиродженої дійсної матриці Якщо стовпці цієї матриці вважати координатами векторів у евклідовому просторі у деякому ортогональному базисі, то ці вектори є лінійно незалежними і тоді початок координат і точки, що визначаються цими векторами є вершинами -вимірного симплекса. Матриця тоді буде матрицею Грама для цих векторів.
Довжини ребер визначеного так симплекса є рівними Таким чином остаточно:
додатних чисел є довжинами ребер деякого -вимірного симплекса тоді і тільки тоді коли всі верхні кутові головні мінори починаючи з другого визначника Келі — Менгера для довжин ребер симплекса мають знак де є розмірністю мінора або еквівалентно всі верхні кутові головні мінори відповідного визначника Грама є додатними.
Множини точок із заданими відстанями між вершинами Більш загально якщо є точкою у -вимірному евклідовому просторі, де , і є відстані між ними, то як і вище матриця розмірності у якої -ий діагональний елемент є рівним , а не діагональні елементи на позиції (а також, відповідно, ) є рівним є матрицею Грама для векторів . Але у цьому випадку вектори можуть бути лінійно залежними і визначник Грама має бути лише невід'ємним, а визначник Келі — Менгера мати знак або бути рівним нулю. Загалом матриця Грама у цьому випадку є невід'ємно визначеною, еквівалентно всі її головні мінори (лише кутових недостатньо) мають бути невід'ємними. Рівносильно відповідні визначники Грама є невід'ємними, а також визначники Келі — Менгера для всіх підмножин точок бути рівними нулю або мати знак, що визначається потужністю множини точок.
Навпаки, якщо задано додатних чисел і матриця сформована як і вище є невід'ємноозначеною то для деякої не обов'язково невиродженої дійсної матриці Якщо стовпці цієї матриці вважати координатами векторів у евклідовому просторі у деякому ортогональному базисі, то початок координат і точки, що визначаються цими векторами є точками простору із відстанями .
Оскільки умова невід'ємноозначеності є еквівалентною умові невід'ємності всіх головних мінорів, а тому і невід'ємності визначників Грама, а також відповідними умовами для знаків визначників Келі — Менгера, то:
додатних чисел є відстанями між деякими точками у -вимірному евклідовому просторі тоді і тільки тоді коли всі головні мінори у відповідній матриці Грама є невід'ємними або еквівалентно всі визначники Келі — Менгера для підмножин точок мають знак, що визначається парністю кількості елементів множини.
Визначення підмножин афінних підпросторів у геометрії відстаней
У геометрії відстаней єдиною інформаціїє є відстані між точками деякої підмножини простору і на основі цього потрібно одержати деяку інформацію про множину. Визначник Келі — Менгера можна використати для перевірки чи належить множина деякій прямій, площині чи гіперплощині вищого порядку.
Пряма Множина (з принаймні трьома різними елементами) називається прямою якщо і тільки якщо для будь-яких трьох елементів , та з ,
Площина Множина (з принаймні чотирма різними елементами) називається площиною тоді і тільки тоді, коли для будь-яких чотирьох елементів , , та з ,
але не всі трійки елементів є прямими одна до одної;
Тьохвимірна гіперплощина Множина (з принаймні п'ятьма різними елементами) називається плоскою тоді і тільки тоді, коли для будь-яких п'яти елементів , , , та з ,<refname="sFinal" />
але не всі четвірки елементів є плоскими один до одного.
Знаходження радіуса описаного кола симплексу Для невиродженого -симплекса існує описана -сфера з радіусом . Існування можна довести індукцією по розмірності симплекса і сфери. Якщо для -симплексів існують такі описані сфери, то розглянемо -вимірну площину, що містить симплекс і довільну -вимірну грань і центр описаної сфери цієї грані. Через цей центр можна провести лінію ортогональну до -вимірної площини, що містить грань. Якщо радіус описаної сфери на грані є рівним а єдина точка симплекса, що не належить цій грані знаходиться на відстані від -вимірної площини і на відстані від ортогональної лінії, то центр описаної сфери симплекса знаходиться на ортогональній лінії на відстані яка визначається із рівняння (що є наслідком теореми Піфагора) Звідси і оскільки то це рівняння однозначно задає розташування центру описаної сфери (якщо то ця точка розашована з тої ж сторони гіперплощини, що і інша точка симплекса, якщо — то з протилежної).
Відповідно можна розглянути точки з яких є вершинами симплекса, а ще одна є центром описаної сфери. Тому визначник Келі — Менгера для цих точок має бути рівним нулю. Тобто:
Переставляючи перші два рядки і стовпці і використовуючи , і , це еквівалентно Розв'язок акого рівняння очевидно не зміниться, якщо замість матриці оберненої до матриці Келі — Менгера розглядати союзну матрицю (тобто обернену матрицю помножену на визначник Келі — Менгера). У такої матриці на позиції 1, 1 стоїть визначник матриці одержаної з матриці Келі — Менгера за винятком першоого рядка і стовпця (вона ще називається матрицею евклідових відстаней). Кожен інший елемент першого рядка (і відповідно симетрично і першого стовпця), є рівним від'ємній сумі всіх алгебричних доповнень елементів відповідного рядка у матриці. Натомість у матриці одержаної із союзної вилученням першого рядка і стовпця сума елементів у кожному рядку і стовпці буде рівна нулю.
Відповідно помноживши всі вектори на матрицю одержується рівність: де — матриця евклідових відстаней, — алгебричні доповнення елементів цієї матриці або ж елементи союзної матриці. Звідси також де позначають елементи оберненої до матриці евклідових відстаней.
Еквівалентно можна записати:
Наприклад, коли , це дає радіус описаного кола трикутника, виражений через довжини його сторін.
Примітки
Див. також Визначник Грама Симплекс Формула Герона
Джерела Fiedler M. Matrices and Graphs in Geometry. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press; 2011. ISBN 9780511973611 Sitharam, Meera; St. John, Audrey; Sidman, Jessica. Handbook of Geometric Constraint Systems Principles. Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1-4987-3891-0