Гіпо́теза Гі́льберта — Пої́ — математична гіпотеза, що дає один із підходів до розв'язання гіпотези Рімана за допомогою спектральної теорії. Сформулював угорський математик Дьордь Поя і, зі слів , німецький математик Давид Гільберт.

Гіпотеза вказує на можливий зв'язок між нетривіальними нулями дзета-функції Рімана і явищами квантової механіки і формулюється такТрушечкин А. С., Квантовый хаос, периодические орбиты и дзета-функция Римана. // Короткий виклад заявки.Трушечкін А. С., Математика квантової механіки (2013). Відеодоповідь за темами: аксіоми квантової механіки, диво квантової інтерференції, квантова ймовірність, група Гейзенберга Вейля, інтеграли Фейнмана за шляхами, квантова телепортація, квантовий хаос і дзета-функція Рімана. : нетривіальні нулі дзета-функції Рімана (їхні уявні частини) відповідають власним значенням деякого ермітового оператора (необмеженого самоспряженого оператора в гільбертовому просторі).

Історія У листі до від 3 січня 1982 року (єдиному письмовому свідченні того, що гіпотезу Гільберта — Пої в принципі висловили її автори) Поя повідомив, що, в період його перебування в Геттінгені приблизно від 1912 до 1914 року, Едмунд Ландау поставив йому питання: «Чи можете ви придумати якусь фізичну причину, в силу якої гіпотеза Рімана була б справедливою?».

Було припущено, що це можливо у випадку, якщо уявні частини нетривіальних нулів дзета-функції Рімана:

відповідають власним значенням необмеженого самоспряженого оператора. Схоже, що першим гіпотезу опублікував (1973).Odlyzko, Andrew, Correspondence about the origins of the Hilbert-Polya Conjecture. Montgomery, Hugh L. (1973), «The pair correlation of zeros of the zeta function», Analytic number theory, Proc. Sympos. Pure Math., XXIV, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 181—193, MR 0337821.

1950-і роки та формула сліду Сельберга Сельберг на початку 1950-х років довів двоїстість між довжиною спектра ріманової поверхні та власними значеннями її лапласіана. Ця так звана була разюче схожа з , що додало достовірності гіпотезі Гільберта — Пої.

1970-і роки та випадкові матриці дослідив і виявив, що статистичний розподіл нетривіальних нулів дзета-функції Рімана на критичній прямій має певну властивість, яку нині називають . Нулі мають тенденцію не збиратися надто близько один до одного, а навпаки — відштовхуватися. 1972 року, під час відвідання Інституту перспективних досліджень, Монтґомері показав цей результат Фрімену Дайсону, одному з основоположників теорії випадкових матриць.

Дайсон виявив, що статистичний розподіл, який знайшов Монтґомері, виявився таким самим, як парний кореляційний розподіл для власних значень випадкової ермітової матриці. Ці розподіли важливі у фізиці — власні стани гамільтоніана, наприклад — енергетичні рівні атомного ядра, — задовольняють таку статистику. Наступна робота переконливо підтвердила зв'язок між розподілом нулів дзета-функції Рімана і власними значеннями випадкової ермітової матриці з гаусового унітарного ансамблю, і тепер вважається, що вони підпорядковані одній і тій самій статистиці. Отже, гіпотеза Гільберта — Пої тепер має міцнішу основу, хоча вона ще не привела до доведення гіпотези Рімана.Rudnick, Zeev; Sarnak, Peter (1996), «Zeros of Principal L-functions and Random Matrix Theory», Duke Journal of Mathematics, 81 (2): 269—322, doi:10.1215/s0012-7094-96-08115-6.

Подальший розвиток У розвитку, який надав значний імпульс цьому підходу до гіпотези Рімана за допомогою функціонального аналізу, Ален Конн запропонував формулу сліду, фактично еквівалентну гіпотезі Рімана, що посилило аналогію з формулою сліду Сельберга до ступеня, що дає точні твердження. Конн дає геометричну інтерпретацію теорії чисел як формули сліду на некомутативній геометрії класів .Connes, Alain (1998), «Trace formula in noncommutative geometry and the zeros of the Riemann zeta function», arXiv: math/9811068.

Можливий зв'язок із квантовою механікою На можливий зв'язок оператора Гільберта — Пої з квантовою механікою вказав сам Поя. Оператор гіпотези Гільберта — Пої має вигляд , де  — гамільтоніан частинки з масою , що рухається під впливом потенціалу . Гіпотеза Рімана еквівалентна твердженню, що гамільтоніан — ермітів, або еквівалентна тому, що  — дійсне.

З використанням теорії збурень першого порядку, енергія n-го власного стану пов'язана з математичним очікуванням потенціалу:

де і  — власні значення та власні стани гамільтоніана вільних частинок. Це рівняння можна вважати інтегральним рівнянням Фредгольма першого роду з енергіями . Такі інтегральні рівняння можна розв'язати за допомогою резольвенти ядра, де потенціал можна записати як

де  — резольвента ядра,  — дійсна стала, та

де  — дельта-функція Дірака, і  — нетривіальні нулі дзета-функції .

Майкл Беррі та припустили, що гамільтоніан насправді є деяким квантуванням класичного гамільтоніана , де  — канонічний імпульс, пов'язаний із .Berry, Michael V.; Keating, Jonathan P. (1999a), «H = xp and the Riemann zeros», in Keating, Jonathan P.; Khmelnitski, David E.; Lerner, Igor V. (eds.), Supersymmetry and Trace Formulae: Chaos and Disorder (PDF), New York: Plenum, pp. 355—367, ISBN 978-0-306-45933-7. Найпростішим ермітовим оператором, відповідним , є

Це уточнення гіпотези Гільберта — Пої відоме як гіпотеза Беррі (або гіпотеза Беррі — Кітінга). Ці концепції далекі від конкретики, оскільки не ясно, на якому просторі має діяти цей оператор, щоб отримати правильну динаміку, або як його впорядкувати, щоб отримати очікувані логарифмічні зміни. Беррі та Кітінг припустили, що, оскільки цей оператор інваріантний щодо , можливо, гранична умова для цілого числа може допомогти отримати правильні асимптотичні результати, дійсні для великих

Berry, Michael V.; Keating, Jonathan P. (1999b), «The Riemann zeros and eigenvalue asymptotics» (PDF), SIAM Review, 41 (2): 236—266, Bibcode:1999SIAMR..41..236B, doi:10.1137/s0036144598347497.

У березні 2017 року , та Маркус П. Мюллер опублікували статтю,Bender, Carl M.; Brody, Dorje C.; Müller, Markus P. (2017), «Hamiltonian for the Zeros of the Riemann Zeta Function», Physical Review Letters, 118 (13), arXiv:1608.03679, Bibcode:2017PhRvL.118m0201B, doi:10.1103/PhysRevLett.118.130201. що ґрунтується на підході Беррі до проблеми, де введено оператор

який, за їх твердженням, задовольняє певну модифіковану версію умов гіпотези Гільберта — Пої. Жан Беллісард розкритикував цю статтю,Belissard, Jean (2017), «Comment on „Hamiltonian for the Zeros of the Riemann Zeta Function“», arXiv:1704.02644 [quant-ph] і автори надали свої пояснення.Bender, Carl M.; Brody, Dorje C.; Müller, Markus P. (2017), «Comment on 'Comment on „Hamiltonian for the zeros of the Riemann zeta function“'», arXiv:1705.06767 [quant-ph]. Крім того, Фредерік Мокслі підійшов до проблеми з використанням рівняння Шредінгера.Moxley, Frederick (2017). «A Schrödinger equation for solving the Bender-Brody-Müller conjecture». AIP Conference Proceedings. 1905: 030024. Bibcode:2017AIPC.1905c0024M. doi:10.1063/1.5012170.

Примітки

Література