Добуток Кронекера — бінарна операція над матрицями довільного розміру, позначається . Результатом є блочна матриця.

Добуток Кронекера не слід путати зі звичайним множенням матриць. Операція названа на честь німецького математика Леопольда Кронекера.

Визначення Якщо A — матриця розміру m×n, B — матриця розміру p×q, тоді добутком Кронекера є блочна матриця розміру mp×nq

Білінійність, асоціативність та некомутативність Добуток Кронекера є частковим випадком тензорного добутку, отже він є білінійним та асоціативним:

де A, B та C є матрицями, а k — скаляр.

Добуток Кронекера не є комутативним. Хоча, завжди існують такі матриці перестановки P та Q, що

Якщо A та B квадратні матриці, тоді A B та B A є перестановочно подібними, тобто, P = QT.

, де - одинична матриця.

Транспонування Операція транспонування є дистрибутивною відносно добутку Кронекера

Мішаний добуток Якщо A, B, C та D є матрицями такого розміру, що існують добутки AC та BD, тоді

A B є оборотною тоді і тільки тоді коли A та B є оборотними, і тоді

Сума та експонента Кронекера Якщо A — матриця розміру n×n, B — матриця розміру m×m і  — одинична матриця розміру k×k тоді ми можемо визначити суму Кронекера , як

Також справедливо

Спектр, слід та визначник Якщо A та B квадратні матриці розміру n та q відповідно. Якщо λ1, …, λn — власні значення матриці A та μ1, …, μq власні значення матриці B. Тоді власними значеннями A B є

Слід та визначник добутку Кронекера рівні

Сингулярний розклад та ранг Якщо матриця A має rA ненульових сингулярних значень:

Ненульові сингулярні значення матриці B:

Тоді добуток Кронекера A B має rArB ненульових сингулярних значень

Ранг матриці рівний кількості ненульових сингулярних значень, отже

Блокові версії добутку Кронекера

У випадку блочних матриць можуть використовуватися операції, які пов'язані з добутком Кронекера однак відрізняються порядком перемноження блоків. Такими операціями є добуток Трейсі – Сінгха () і добуток Хатрі-Рао.

Добуток Трейсі-Сінгха Вказана операція множення блокових матриць полягає в тому, що кожен блок лівої матриці множиться послідовно на блоки правої матриці. При цьому формується структура нової матриці, яка відрізняється від характерної для добутку Кронекера. Добуток Трейсі - Сінгха визначається як

Наприклад:

Добуток Хатрі-Рао

Даний варіант добутку визначений для матриц з однаковою блоковою структурою. Він передбачає, що операція кронекерівського добутку виконується поблоково, в межах однойменних матричних блоків за аналогією з поелементним добутком Адамара, тільки при цьому в якості елементів задіяні блоки матриць, а для переноження блоків використовується добуток Кронекера.

Торцевий добуток

Властивості мішаних добутків: , де означає торцевий добуток

,

За аналогією: ,

, де і - вектори,

Thomas D. Ahle, Jakob Bæk Tejs Knudsen. Almost Optimal Tensor Sketch. Published 2019. Mathematics, Computer Science, ArXiv , Аналогічно:

, де означає векторну згортку, а є матрицею дискретного перетворення Фур'є,

, де означає стовпцевий добуток Хатрі-Рао

Окрім того: ,

, де і - вектори.

Див. також Список об'єктів, названих на честь Леопольда Кронекера Добуток Хатрі-Рао

Джерела

Примітки