Розподіл Вігнера — Вілля (, WVD), також перетворення Вігнера — Вілля, — квадратичне частотно-часове представлення сигналу, що описує його розподіл у площині часу та частоти. Для комплексного сигналу розподіл визначають як

де зірочка позначає комплексне спряження. Таким чином, розподіл Вігнера — Вілля є перетворенням Фур'є за часовим зсувом від симетричної відносно моменту кореляційної функції сигналу.

Математична конструкція походить від функції Вігнера, запропонованої Юджином Вігнером 1932 року для опису квантових систем у фазовому просторі. 1948 року Жан Вілль застосував аналогічне представлення до аналітичних сигналів; у теорії обробки сигналів ця форма відома як розподіл Вігнера — Вілля.

Розподіл має високу концентрацію енергії в часо-частотній площині. Інтегрування розподілу за частотою дає миттєву потужність сигналу, а інтегрування за часом — його спектральну густину енергії:

Водночас через квадратичність представлення для багатокомпонентних сигналів між компонентами виникають перехресні члени (), які можуть утворювати хибні структури в часо-частотному зображенні.

Зв'язок із функцією Вігнера та перетворенням Вігнера — Вейля

Розподіл Вігнера — Вілля має ту саму математичну структуру, що й функція Вігнера у квантовій механіці. Це пов'язано з аналогією між парами спряжених змінних «координата — імпульс» та «час — частота».

У квантовій механіці функцію Вігнера можна отримати як перетворення Вігнера оператора густини . Для чистого стану

тому його координатне ядро має вигляд

Після перетворення Вігнера це дає функцію у фазовому просторі :

У теорії сигналів замість хвильової функції розглядають сигнал , а змінним і відповідають час і кутова частота. У результаті отримують розподіл Вігнера — Вілля

Таким чином, перетворення Вігнера — Вейля є загальнішим відповідником між операторами та функціями фазового простору, функція Вігнера є результатом його застосування до оператора густини квантового стану, а розподіл Вігнера — Вілля використовує аналогічну конструкцію для часо-частотного представлення сигналів. Саме через спільну математичну форму ці поняття в літературі іноді називають подібними термінами, хоча вони належать до різних контекстів.

Примітки