Ли́шок (від  — лишок, , ) у комплексному аналізі — число (як дійсне, так і комплексне), яке описує поведінку криволінійних інтегралів мероморфних функцій у деякій особливій точці. За допомогою лишків можна обчислювати значення інтегралів різних типів, у тому числі дійсних.

Визначення Нехай функція має ізольовану особливу точку (або регулярна у цій точці). При скінченному лишком функції у точці називається величина

де інтегрування проводиться по додатно орієнтованому контуру (при обході область залишається ліворуч). Оскільки  — будь-яке достатньо мале додатне число, а  — мероморфна, то величина вищевказаного інтегралу не залежить від значення цього параметра та шляху інтегрування.

Нескладно довести, що перший коефіцієнт розкладу функції по степеням в ряд Лорана є лишком цієї функції:

Лишок у «нескінченності» Для повного дослідження функції необхідно розглядати лишок у нескінченності (нескінченно віддалена точка на сфері Рімана). Нехай точка є ізольованою особливою точкою однозначного характеру функції , тоді лишком у нескінченності називається число , де  — будь-яке достатньо велике додатне число. При цьому напрямок інтегрування по межі області обирається так, щоб область залишалася зліва (тобто проти годинникової стрілки).

Аналогічно до попереднього випадку, лишок у нескінченності можна представити у вигляді коефіцієнта лоранівського розкладу в околі нескінченно віддаленої точки:

Логарифмічний лишок Інтеграл виду

називається логарифмічним лишком функції відносно контуру С. Свою назву отримав через те, що підінтегральний вираз є похідною логарифма. Знаходить застосування у доведенні теореми Руше та основної теореми алгебри. Сам інтеграл визначається лише принципом аргументу:

Методи обчислення лишків На практиці обчислювати лишки за означенням, тобто через контурний інтеграл, у багатьох випадках важко. Тому використовують наслідки з означення для особливих точок різного типу.

Усувна особлива точка В усувній особливій точці лишок дорівнює нулю. Проте, у випадку з нескінченністю це не завжди так. Якщо в околі нескінченно віддаленої точки функція має розклад в ряд Лорана, то

Полюс Простий полюс у точці :

Полюс кратності n у точці :

Проте, якщо функція представлена як частка двох голоморфних функцій: , і , то:

Істотно особлива точка

У більшості випадків в істотно особливій точці лишок зручно знаходити, як коефіцієнт розкладу в ряд Лорана. Наприклад:

Розкладемо та в ряд Лорана:

Тоді після підстановки цих розкладів та зведення подібних доданків, знаходимо:

Див. також Інтегральна формула Коші Інтегральна теорема Коші Основна теорема про лишки

Джерела