Синус ( — «пазуха») — тригонометрична функція кута. Визначення синуса гострого кута в контексті прямокутного трикутника: для заданого кута, є відношенням довжини катета, що є протилежним даному куту, до довжини найдовшої сторони трикутника (гіпотенузи).
У загальнішому випадку, визначення синуса (та інших тригонометричних функцій) може бути розширене до значення дійсного числа, що належить до довжини певного відрізка в одиничному колі. Більш складні сучасні визначення задають синус як нескінченний ряд або як розв'язок деяких диференційних рівнянь, що дозволяє їх розширення до довільних додатних і від'ємних значень і навіть до комплексних чисел.
Функція синуса зазвичай застосовується в моделюванні періодичних явищ, таких як звукові і світлові хвилі, позиції і швидкості гармонічних коливань, інтенсивності сонячного світла і довжини для, коливань середньої температури в період року.
Функція синус має зв'язок у своєму походженні до функцій джа і коті-джа, що використовувалися в період Гупта в Індійській астрономії (Ар'ябхатія, Сур'я Сіддханта), шляхом перекладу із санскриту на арабську мову, а потім з арабської на латиньUta C. Merzbach, Carl B. Boyer (2011), A History of Mathematics, Hoboken, N.J.: John Wiley & Sons, 3rd ed., p. 189.. Слово «синус» походить від неправильного перекладу на латину арабського джиба, яке є транслітерацією слова на санскриті, що означало половину хорди, джа-ардха.Victor J. Katz (2008), A History of Mathematics, Boston: Addison-Wesley, 3rd. ed., p. 253, sidebar 8.1. Таблиця синусів містить числові значення функції синуса.
Визначення в контексті прямокутного трикутника
При визначенні тригонометричних функцій для гострого кута α, беруть будь-який прямокутний трикутник який містить кут α; на відповідному малюнку, це геометричний кут A в трикутнику ABC, який має значення α. Три сторони трикутника мають назви: протилежний катет це сторона протилежна обраному куту, в даному випадку це сторона a. гіпотенуза це сторона протилежна прямому куту, в даному випадку це сторона h. Гіпотенуза завжди є найдовшою стороною прямокутного трикутника. прилеглий катет- сторона що залишилась, в даному випадку це сторона b. Це сторона, яка одночасно прилягає до вибраного кута (кут A) і до прямого кута трикутника.
У визначеному трикутнику, синус кута дорівнює довжині протилежного катету поділеному на довжину гіпотенузи (інші тригонометричні функції можуть визначатися аналогічним способом; наприклад, косинус кута є відношенням довжин прилеглого катету до гіпотенузи).
Як уже зазначалося, значення функції залежить від вибраного прямокутного трикутника, який містить в собі кут величиною α. Однак, це не є важливим: оскільки всі такі трикутники є подібними, і співвідношення сторін буде однакове в усіх таких трикутниках.
В контексті одиничного кола
В тригонометрії, одиничне коло це коло з радіусом один і з центром у початку координат (0, 0) декартової системи координат.
Нехай існує довільна пряма через початок координат, яка утворює кут θ із додатною частиною осі x, і перетинає одиничне коло. x і y — координати точки перетину прямої і кола, які дорівнюють cos θ і відповідно. Відстань від точки до початку координат завжди дорівнює 1.
На відміну від визначення в контексті прямокутного трикутника або кута нахилу, використовуючи одиничне коло значення кута можуть бути розширені до повного набору дійсних аргументів. В такому випадку функція синуса є періодичною.
Одиничне коло є в основі принципу побудови координатного транспортиру. При безперервному обертанні кута навколо своєї осі на 360 градусів можна бачити як координата транспортира зміщується по осі Y від -1 до 1. На осі Y в одиничному колі розміщені значення функції синуса.
Тотожності
Точні тотожності (застосовуються до радіан): Застосовуються до всіх значень кута .
Обернені оберненим числом для синуса є косеканс, тобто обернене число для записується як , або cosec(A). Косеканс задає відношення довжини гіпотенузу до довжини протилежного катету:
Обернені функції
Оберненою функцією для синуса є арксинус (позначається як arcsin або asin) або обернений синус (). Оскільки синус не має ін'єктивного відображення, арксинус не є точною оберненою функцією, а є частковою оберненою функцією. Наприклад, , але також і , і так далі. Звідси випливає, що функція арксинус багатозначна: , але також і , , і т. д.. Коли необхідно мати одне визначене значення, функція може бути обмежена до її головної області значень. Виходячи з цього обмеження, для кожного значення x в усій області значень, вираз прийматиме лише одне значення, яке називається його головним значенням.
k є деяким цілим значенням:
або у вигляді одного рівняння:
Arcsin задовольняє рівнянням:
і
Обчислення
Для функції синус:
Похідною є:
Первісною функції є:
,
де C позначає сталу інтегрування.
Зв'язок із іншими тригонометричними функціями
Будь-яку тригонометричну функцію можна виразити через інші тригонометричні функції (з урахуванням знаків плюс та мінус у різних чвертях або за допомогою знакової функції (sgn)).
Через інші тригонометричні функції синус можна виразити наступним чином: f θЗ використанням плюса/мінуса (±)З використанням функції (sgn)f θ =± по чвертямf θ = I II III IVcos + + − − + − − +cot + + − − + − − + tan + − − + + − − + sec + − + − + − − +
Всі рівняння, в яких використовуються знаки плюс/мінус (±), мають додатні значення для кутів в першій чверті.
Основний зв'язок між синусом і косинусом може виражатися у вигляді Тригонометричної тотожності Піфагора:
де sin2x означає (sin(x))2.
Властивості пов'язані із чвертями
В рамках чотирьох чвертей функція синуса має такі властивості. ЧвертьГрадусиРадіаниЗначенняЗнакМонотонністьОпуклість1-а чвертьзростаючаувігнута2-а чвертьспаднаувігнута3-а чвертьспаднаопукла4-а чвертьзростаючаопукла
Точки на межах чвертей. k є цілим числом.
ГрадусиРадіаниРадіаниТип точкиКорінь, Точка перегинуМаксимумКорінь, Точка перегинуМінімум
Для аргументів, яких нема в цій таблиці, значення задані із урахуванням, що функція синуса є періодичною із періодом 360° (або 2 радіан): , або . А також і . Для доповнення синуса, маємо .
Див. також Тригонометричні функції Формула Ейлера Гіперболічні функції Теорема синусів Синусоїда Рівняння синус-Ґордона
Примітки
Посилання