Напівгрупа — алгебрична структура в абстрактній алгебрі з непорожньої множини та асоціативної бінарної операції (тобто, асоціативна магма).
Відрізняється від групи тим, що для елементів множини може не існувати оберненого елемента і навіть може не існувати нейтрального елемента (одиниці).
Моноїд — напівгрупа з нейтральним елементом. Довільну напівгрупу можна перетворити в моноїд, добавивши до неї деякий елемент e і визначивши es = se = s для всіх елементів моноїда.
Гомоморфізм напівгруп Гомоморфізм між двома напівгрупами та є функція така, що .
Якщо функція бієктивна, то це ізоморфізм напівгруп.
Структура напівгрупи
Якщо , то позначають
Підмножина A напівгрупи S називається під-напівгрупою, якщо вона замкнута відносно групової операції. Тобто AA ⊆ A. Перетином під-напівгруп в S є під-напівгрупа в S.
Якщо підмножина A непорожня та AS (SA) ⊆ A, то A називають правим (лівим) ідеалом. Якщо A є одночасно лівим і правим ідеалом, то його називають двохстороннім ідеалом, чи просто ідеалом.
Перетином під-напівгруп( чи ідеалів) є під-напівгрупа (чи ідеал); з чого слідує, що напівгрупа або має мінімальну під-напівгрупу (чи ідеал) або не має їх зовсім.
Якщо в комутативній напівгрупі є найменший ідеал, то він є групою.
Прикладом напівгрупи без найменшого ідеала є натуральні числа з операцією додавання.
Приклади Натуральні числа з операцією додавання є напівгрупою. Натуральні числа з операцією множення є напівгрупою. Цілі числа з операцією множення є моноїдом. Ідеал кільця є напівгрупою відносно множення. Множина квадратних матриць розміру n з операцією множення є моноїдом.
Див. також Конкатенація
Джерела