Стохасти́чна ма́триця — матриця, усі елементи якої є невід'ємними, а сума елементів рядків чи стовпців рівна одиниці. Стохастичні матриці широко використовуються в теорії ймовірностей, зокрема при вивченні ланцюгів Маркова.
Визначення
Матриця називається стохасти́чною справа (або просто стохастичною), якщо та Матриця називається стохасти́чною злі́ва, якщо та Матриця називається двічі стохасти́чною, якщо вона стохастична справа і зліва.
Зв'язок із ланцюгами Маркова
Стохастична матриця є матрицею ймовірностей переходів деякого ланцюга Маркова. Якщо імовірність переходу зі стану i в стан j рівна то наведена нижче матриця буде очевидно стохастичною:
Властивості
Якщо та — дві матриці стохастичні зліва (справа, двічі), то і їх добуток теж є стохастичною зліва (справа, двічі) матрицею.
Справді розглянемо стохастичну справа матрицю, для інших доведення аналогічне. Сума елементів i-го рядка матриці дорівнює:
тобто добуток матриць є стохастичною матрицею.
Скінченна стохастична матриця
Якщо стохастична матриця є скінченною, то її спектральний радіус (найбільше абсолютне значення її власних чисел) є рівним одиниці. Очевидно, що 1 є власним значенням будь-якої стохастичної матриці. Для (правої) стохастичної матриці вектор, усі елементи якого рівні 1, буде власним вектором. Для власного значення 1 також існує лівий власний вектор, усі елементи якого є невід'ємними.
Якщо до того ж матриця є нерозкладною, то, згідно з теоремою Перрона — Фробеніуса, 1 буде простим власним значенням (простим коренем характеристичного многочлена) і, якщо — лівий власний вектор, що відповідає одиниці, тобто:
,
то всі елементи цього вектора є додатними. До того ж буде єдиним лівим власним вектором, усі елементи якого є невід'ємними дійсними числами.
Скінченна стохастична матриця називається регуля́рною, якщо існує таке , що ,
де — елементи -ї степені матриці , тобто .
Якщо — регулярна стохастична матриця, то , де — вектор розмірності , усі елементи якого рівні одиниці, а — визначений раніше власний вектор.
Див. також Ланцюги Маркова Теорема Перрона — Фробеніуса Двічі стохастична матриця
Джерела
Bapat R. B., Raghavan T. E. S. Nonnegative matrices and applications, Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-57167-7