Алгебра множин в теорії множин — непорожня система підмножин деякої множини , замкнена щодо операцій доповнення (різниці) і об'єднання (суми).
Визначення Сім'я підмножин множини (тут — булеан) називається алгеброю, якщо:
Якщо множина , то і її доповнення Об'єднання двох множин також належить
Зауваження За означенням, якщо алгебра містить множину , вона містить і її доповнення. Об'єднанням з її доповненням є вихідна множина . Доповненням до множини є порожня множина. Це означає, що множина і порожня множина містяться в алгебрі за означенням. Зважаючи на властивості операцій над множинами, алгебра множин також є замкнутою щодо операцій перетину і симетричної різниці двох множин. Алгебра множин є прикладом алгебри з одиницею, де операцією «множення» є перетин множин, а операцією «додавання» є симетрична різниця. Якщо вихідна множина є простором елементарних подій, то алгебра називається алгеброю подій — ключове поняття теорії ймовірностей та пов'язаних з нею математичних дисциплін, що має унікальну інтерпретацію та відіграє самостійну роль у математиці.
Алгебра подій Алгебра подій (в теорії ймовірностей) — алгебра підмножин простору елементарних подій , елементами якого є елементарні події.
Як і належить алгебрі множин, алгебра подій містить неможливу подію (порожня множина) і замкнута щодо теоретико-множинних операцій, для скінченної кількості множин . Достатнь вимагати, щоб алгебра подій була замкнута щодо двох операцій, наприклад, перетину і доповнення, з чого відразу випливає її замкнутість щодо будь-яких інших теоретико-множинних операцій. Алгебра подій яка є замкнутою щодо теоретико-множинних операцій, із зліченною кількістю множин, називається [сигма-алгебра|сигма-алгеброю]] подій.
У теорії ймовірностей зустрічаються такі алгебри і сигма-алгебри подій:
алгебра скінченних підмножин ; сигма-алгебра зліченних підмножин ; алгебра підмножин , утворена об'єднаннями скінченної кількості інтервалів; сигма-алгебра борелівських підмножин топологічного простору , тобто найменша сигма-алгебра, що містить всі відкриті підмножини ; алгебра циліндрів у просторі функцій та сигма-алгебра, ними породжена.
Подія або , яка полягає в тому, що з двох подій і відбувається принаймні одна, називається сумою подій і .
Ймовірнісний простір — алгебра подій із заданою функцією ймовірності , тобто сигма-адитивною скінченною мірою, областю визначення якої є алгебра подій, де .
Будь-яка сигма-адитивна ймовірність на алгебрі подій однозначно продовжується до сигма-адитивної ймовірності, визначеної на сигма-алгебрі подій, породженої даною алгеброю подій.
Джерела