Теорема Кронекера — Капеллі — критерій сумісності системи лінійних алгебраїчних рівнянь:
СЛАР має розв'язки тоді й лише тоді, коли ранг її матриці дорівнює рангу її розширеної матриці
Система має єдиний розв'язок, якщо ранг дорівнює кількості невідомих, і нескінченно багато розв'язків, якщо ранг менший кількості невідомих.
Необхідність
Нехай СЛАР сумісна, тоді існує розв'язок: такий, що
Тобто, стовпець є лінійною комбінацією стовпців матриці
Отже
Достатність
Нехай Візьмемо у матриці будь-який базисний мінор.
Так як , то він буде базисним мінором і для матриці
Тоді згідно з теоремою про базисний мінор, останній стовпець матриці буде лінійною комбінацією базисних стовпчиків, тобто стовпців матриці
Отже, стовпець вільних членів системи є лінійною комбінацією стовпців матриці коефіцієнти такої лінійної комбінації і будуть розв'язком СЛАР.
Див. також Метод Крамера Метод Гауса Список об'єктів, названих на честь Леопольда Кронекера Список об'єктів, названих на честь Альфредо Капеллі
Джерела