Теорема про базисний мінор Рядки ненульової матриці (існує не нульовий елемент) на яких будується її базисний мінор є лінійно незалежними. Всі інші рядки матриці лінійно виражаються через них.
Доведення Якби базисні рядки були лінійно залежними то з допомогою еквівалентних перетворень можна було б одержати нульовий рядок, що суперечить тому, що базовий мінор не дорівнює нулю. За допомогою довільного не базисного рядка (нехай його номер ) та довільного стовбця матриці (нехай його номер ) утворимо оточуючий мінор для базисного. Він буде дорівнювати нулю. Розклавши його -му стовпцю (теорема Лапласа), отримаємо:
оскільки алгебраїчне доповнення рівне нашому базовому мінору з точністю до знака, отже тому розділимо весь вираз на нього:
Отже -ий рядок є лінійною комбінацією базових рядків з коефіцієнтами .
Див. також
Теорія матриць Ранг матриці Теорема Лапласа — розклад визначника по рядку (стовпцю) Скелетний розклад матриці — розклад матриці на два множники мінімального розміру
Джерела