Правильний шестикутник ТипПравильний мгногокутникВластивостіОпуклий, рівносторонній, ізогональний (вершинно-транзитивний), ізотоксальний (реберно-транзитивний), конциклічний (вписаний в коло), тангенціальний (описаний навколо кола)Елементи 6 ребер6 вершинВершинна фігура Відрізок довжиною ПозначенняСимвол Шлефлі {6} (повна симетрія)t{3} (зрізаний трикутник) Діаграма Коксетера-Динкіна або (x6o) Група симетрії D6, порядок 12 (Діедрична група)ДвоїстийСамодвоїстий
Правильний шестикутник (гексагон від , — шість та , — кут) — шестикутник, у якого всі сторони і кути рівні.
Також, правильний шестикутник — геометрична фігура, правильний многокутник з шістьма сторонами.
Правильний шестикутник можна отримати, застосовуючи операцію зрізання вершини до рівностороннього трикутника. Такий шестикутник має символ Шлефлі t{3}.
Правильний шестикутник може виступати гранями для шестикутної призми та антипризми, для п'яти напівправильних багатогранників Архімеда, а також для та .
Правильний шестикутник має шість ліній дзеркальної симетрії, і обертову симетрію 6-го порядку (у 60°, 120°, 180°, 240° та 300°).
Оскільки сума внутрішніх кутів довільного опуклого шестикутника становить 720°, то кожен внутрішній кут правильного шестикутника дорівнює 120°.
Формули
Нехай — сторона правильного шестикутника, — радіус описаного кола, — радіус вписаного кола.
Для правильного шестикутника справедливі наступні формули:
Сторона правильного шестикутника:
У правильному шестикутнику сторона дорівнює радіусу описаного навколо нього кола.
Радіус вписаного кола правильного шестикутника (дорівнює апотемі правильного шестикутника) — дотикається до всіх його ребер:
Радіус описаного кола правильного шестикутника — проходить через всі його вершини:
Висота ‒ відстань між протилежними сторонами:
Із відношення радіусів описаного та вписаного кіл випливає, що відношення висоти до ширини правильного шестикутника дорівнює 1:1,1547005; тобто шестикутник із довгою діагоналлю 1 матиме відстань 0,8660254 між паралельними сторонами.
Площа правильного шестикутника: де P — периметр правильного шестикутника: p — півпериметр;r = — радіус вписаного кола/ апотема.
Кути правильного шестикутника
Внутрішнім кутом правильного шестикутника при даній вершині називається кут між двома його сторонами, що сходяться в цій вершині.
Сума внутрішніх кутів дорівнює радіан.
Зовнішнім кутом правильного шестикутника при цій вершині називається кут, суміжний внутрішньому куту шестикутника при цій вершині.
радіан.
Сума зовнішніх кутів (по одному при кожній вершині) дорівнює радіан.
Центральним кутом правильного шестикутника називається центральний кут його описаного кола, що спирається на його сторону. Величина центрального кута дорівнює:
радіан.
Діагоналі
Правильний шестикутник має діагоналей:
Шість діагоналей мають довжину
Коротка діагональ дорівнює висоті H шестикутника.
Три діагоналі мають довжину
Довга діагональ правильного шестикутника вдвічі довша за його сторону.
З однієї вершини правильного шестикутника можна провести три діагоналі; вони ділять шестикутник на чотири трикутних частини, а внутрішній кут шестикутника ділять на чотири рівних частини.
Кут між будь-якими сусідніми діагоналями, що виходять з однієї вершини (включно зі сторонами, що виходять з цієї вершини):
Діагоналі правильного шестикутника перетинаються в 13 точках і ділять внутрішню область шестикутника на 24 частини (послідовності та ).
Короткі діагоналі при перетині утворюють гексаграму. Довгі діагоналі перетинаються в одній точці — центрі правильного шестикутника.
Сума квадратів всіх сторін та всіх діагоналей правильного шестикутника, вписаного в коло радіуса R дорівнює 36R2 .
Властивості Правильний шестикутник є рівносторонній і рівнокутний одночасно. Він є вписаним і описаним одночасно. Центри вписаного та описаного кіл збігаються та лежать в центрі правильного шестикутника. Також в центрі правильного шестикутника знаходиться його центр мас. Площа кільця, утвореного вписаним та описаним колом залежить тільки від довжини сторони: Радіус описаного кола правильного шестикутника дорівнює його стороні. Інші відомі багатогранники (політопи), які мають цю властивість, це Кубооктаедр (а також усі симплекси), тесеракт та 24-комірник. Завдяки цьому правильний шестикутник можна точно розкласти на 6 рівносторонніх трикутників. Правильний шестикутник може бути побудований за допомогою циркуля та лінійки без міток. У правильного шестикутника існує тільки одна зірчаста форма — гексаграма (шестикутна зірка, що утворена поєднанням двох правильних трикутників).Правильний шестикутник і правильний п'ятикутник є єдиними багатокутниками з однією можливою зірчастою формою. Це також багатокутник із найбільшою кількістю сторін, який не має простої зірки, тобто зірки, що не утворена поєднанням інших багатокутників. Інші багатокутники, що не мають простих зірок (і зірок взагалі) — це трикутник і квадрат. Це також єдиний правильний багатокутник, який має лише складені (непрості) зірки. Правильний шестикутник є одним із трьох правильних багатокутників, якими можна замостити площину без проміжків та накладень; два інші — рівносторонній трикутник і квадрат. Шестикутний паркет має 3 шестикутники при вершині. Також використовується в інших однорідних та напівправильних паркетах. Правильний шестикутник є порядку 3. Правильний шестикутник, у якого відстань між протилежними сторонами дорівнює 1 є універсальним покриттям: Лема Пала: будь-яку множину діаметром 1 можна покрити правильним шестикутником, у якого відстань між протилежними сторонами дорівнює 1 (шестикутник з довжиною сторони ).Лему довів угорський математик 1929 року.
Теорема Вівіані
Нехай точка Р — довільна точка всередині правильного шестикутника. З неї на сторони опущені перпендикуляри.
— апотема правильного шестикутника (перпендикуляр, опущений з його центра на будь-яку з його сторін).
Тоді виконується така рівність:
Названа іменем італійського математика Вінченцо Вівіані.
Точка на описаному колі
Навколо правильного шестикутника ABCDEF описано коло. Точка Р лежить на описаному колі між вершинами В і С. Тоді:
Нехай — відстані від точки P на описаному колі правильного шестикутника до його вершин. Тоді:
Сума квадратів відстаней від вершин правильного шестикутника до будь-якої точки на його описаному колі дорівнює 12R2
Сума квадратів відстаней від середин сторін правильного шестикутника до будь-якої точки на його описаному колі дорівнює 12R2 − a2,
де — довжина сторони правильного шестикутника.
Точка в площині правильного шестикутника Навколо правильного шестикутника описано коло радіусом R.
Точка Р знаходиться в площині шестикутника. ОР = L — відстань від точки Р до центра шестикутника (центра описаного кола). (i = 1, 2…5) — відстані від точки Р до вершин шестикутника.
Тоді виконуються наступні рівності:
Симетрія
Правильний шестикутник має діедричну групу симетрії D6 (або Dih6), порядку 12.
Вона складається з 6 обертових симетрій (у 60°, 120°, 180°, 240° та 300°) і 6 осьових симетрій.
Правильний шестикутник має 6 ліній дзеркальної симетрії: 3 осі симетрії, що проходять через дві протилежні вершини, та 3 осі симетрії, що проходять через середини протилежних сторін. Є центр симетрії.Група симетрії D6 містить 16 підгруп. Це 8 підгруп включно з ізоморфізмами: власне D6 , 2 діедричні (D3, D2), 4 циклічні (Z6, Z3, Z2, Z1), та тривіальна (e).
Ці типи симетрії у правильному шестикутнику можна побачити у вигляді 9 різних симетрій. Джон Конвей позначав їх за допомогою літери і порядку групи.John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, (Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon pp. 275—278)
Повна симетрія правильної форми — r12 і відсутність симетрії — a1.
p6, ізогональний шестикутник, побудований з трьома відзеркаленнями, для неправильних форм може чергувати довгі та короткі ребра.
d6, ізотоксальний шестикутник, побудований з рівними довжинами ребер, але вершини чергуються з двома різними внутрішніми кутами (для неправильних форм).
Ці дві форми є двоїстими одна до одної та мають половинний порядок симетрії правильного шестикутника.
Форми i4 являють собою правильні шестикутники, сплющені або витягнуті вздовж одного напрямку симетрії. Приклади шестикутників згідно симетрії r12Правильний i4 d6Ізотоксальний g6 Спрямований p6Ізогональний d2 g2Паралелогон загального виду p2 g3 a1 Його можна розглядати як подовжений ромб, тоді як d2 і p2 можна розглядати як горизонтально та вертикально подовжені дельтоїди. g2 шестикутники, протилежні сторони яких паралельні, також називають шестикутними паралелогонами.
Кожна підгрупа симетрії допускає один або більше ступенів вільності для неправильних форм. Лише підгрупа g6 не має ступенів вільності, але її можна розглядати як орієнтований граф. Шестикутники з симетрією g2, i4, та r12, як паралелогони можуть замостити евклідову площину шляхом копіювання. Інші форми шестикутника замощують площину в різних орієнтаціях.
Побудова Правильний шестикутник можна побудувати за допомогою циркуля і лінійки, оскільки число є добутком двійки на просте число Ферма, що згідно з теоремою Гаусса — Ванцеля є достатньою умовою для можливості його побудови за допомогою циркуля і лінійки.
Побудова правильного шестикутника з даним радіусом описаного кола
Будуємо коло вибраного радіуса та проводимо його діаметр. З протилежних кінців цього діаметра описуємо дуги циркулем, розхил якого рівний радіусу кола. Точки перетину цих дуг з колом, а також два кінці діаметра кола є вершинами правильного шестикутника.
Побудова правильного шестикутника за даною стороною Дано відрізок АВ, що дорівнює стороні правильного шестикутника.
З кінців відрізка радіусом, рівним АВ проводимо дві дуги до їх перетину в точці М.
Із точки М цим же радіусом проводимо коло.
Починаючи з точки В радіусом АВ відмічаємо на цьому колі ще чотири вершини шуканого шестикутника.
Приблизна побудова "по клітинках"
Наближення до правильного шестикутника, яке часто є достатнім для практичних цілей, отримують, якщо шестикутник побудовано з приблизно рівносторонніх трикутників, які мають співвідношення висоти до основи 7:8 (7 одиниць довжини в висоту та 8 одиниць довжини основи). Кути цього трикутника майже дорівнюють 60о.
Це наближення застосовується, коли допускається похибка трохи менше 1%. Наприклад, при розмітці клумб, міських площ, ігрових полів та ін.
Точки Pi (x|y) пронумеровані нижче відповідно до цифр годинника, центр (0|0):
Координати вершин шестикутника в горизонтальному положенні: P1 (4|7), P3 (8|0), P5 (4|−7), P7 (−4|−7), P9 (−8|0), P11 (−4|7) Координати вершин шестикутника в вертикальному положенні: P2 (7|4), P4 (7|−4), P6 (0|−8), P8 (−7|−4), P10 (−7|4), P12 (0|8)
Краще наближення можна отримати, замінивши числа 4, 7 і 8 у наведених вище координатах на 15, 26 і 30 відповідно. Інші можливі трійки: (56, 97, 112) або (209, 362, 418).
Фізичні методи Правильний шестикутник можна скласти методами оригамі, використовуючи дві смуги паперу однакової ширини.
Розбиття Проекція 6-куба Розбиття на 3 ромбиРозбиття на 12 ромбів Гарольд Коксетер стверджує, що кожен зоногон (2m-кутник, протилежні сторони якого паралельні й мають однакову довжину) можна розрізати на
паралелограмів.Coxeter, Mathematical recreations and Essays, Thirteenth edition, p.141
Зокрема, це справедливо для будь-якого правильного багатокутника з парною кількістю сторін, у цьому випадку всі паралелограми є ромбами.
Це розбиття правильного шестикутника базується на проекції куба, з 3 із 6 квадратних граней.
Пов'язані многокутники Правильний шестикутник має символ Шлефлі {6}. Правильний шестикутник є частиною правильного шестикутного паркету {6,3} з трьома шестикутними гранями навколо кожної вершини.