Sinc-функція, що позначається , (від — кардинальний синус) має два визначення, відповідно для нормованої sinc-функції і ненормованої sinc-функції:
У цифровій обробці сигналів і теорії зв'язку нормована sinc-функція звичайно визначається як
У математиці ненормована sinc-функція визначається як
В обох випадках значення функції в особливій точці явним чином задається рівним одиниці. Таким чином, sinc-функція аналітична для будь-якого значення аргументу.
Властивості Для ненормованої sinc-функції :
і для і (цілі числа); тобто, це інтерполююча функція Для ненормованої функції і для і (цілі числа); функції формують ортонормований базис для функцій в функціональному просторі , з найбільшою кутовою частотою .
Локальні максимум і мінімум ненормованої sinc-функції збігаються із значеннями косинуса, тобто там, де похідна рівна нулю (локальний екстремум в точці ), виконується умова .
Ненормована sinc-функція є сферичною функцією Бесселя першого роду нульового порядку . Нормована sinc-функція - .
де Si(x) — інтегральний синус.
λ sinc(λ x) (для ненормалізованого випадку) є одним із двох лінійно незалежних розв'язків диференціального рівняння:
Іншим є cos(λ x)/x.
.
Перетворення Фур'є нормованої sinc-функції (для одиничного інтервалу частот) рівне прямокутній функції . , де прямокутна функція — функція, що приймає значення, рівні 1 для будь-якого аргументу з інтервалу між `1/2 і 1/2, і рівна нулю при будь-якому іншому значенні аргументу.
Розклад нормованої Sinc-функції у нескінченний добуток:
Розклад ненормованої Sinc-функції у нескінченний добуток
Вираз через гамма-функцію:
де — гамма-функція
Посилання