Похідні прямих тригонометричних функцій знаходяться з правил диференціювання та тригонометричних тотожностей.
Похідні обернених тригонометричних функцій знаходяться із похідних прямих тригонометричних функцій використовуючи диференціювання неявної функції або похідну оберненої функції.
Основні формули ПрямихОбернених
Виведення формул
Деякі тригонометричні границі
Якщо в одиничному колі величина дорівнює , то: площа трикутника AOB дорівнює ; площа кругового сектора AOB дорівнює ; площа трикутника AOC дорівнює .
Оскільки кожна наступна фігура більша за попередню, то: .
Оскільки можемо поділити на і розвернути формули: .
Спрямувавши θ до +0 отримаємо: . Для від'ємних значень θ використаємо непарність функцій:
Ще одна необхідна нам границя: .
Похідна Згідно означення похідної:
Використаємо формулу додавання кутів: .
Похідна Формулу можна вивести безпосередньо або як похідну композиції функцій (ланцюгове правило): .
Похідна та Формулу можна вивести безпосередньо або як похідну частки: .
.
Похідна Нехай , де . Продиференціюємо по :
Підставимо в неї , а потім :
.
Похідна Нехай , де . Можна продиференціювати по .
Але простіше скористатися рівністю , звідки :
.
Похідна Нехай , де . Продиференціюємо по :
Підставимо в неї , а потім :
.
Похідна
Використаємо тотожність звідки: .
Похідна Використаємо таку тотожність: , де and
Тоді застосовуючи ланцюгове правило: .
Див. також Таблиця похідних
Джерела