У цьому розділі ми дізнаємося, як розширити наш опис руху об’єкта до двох і трьох вимірів за допомогою векторів. Також ми розглянемо окремий випадок руху об’єкта по колу.
Цілі навчання: Описувати рух у двовимірній площині. Описувати рух у тривимірному просторі. Описувати рух по колу. Джейк і Маді катаються на каруселі, що обертається з постійною швидкістю. Маді ближче до центру каруселі, ніж Джейк. Що ви можете сказати про їх прискорення?
Обидва прискорення дорівнюють нулю. Прискорення Маді більше, ніж у Джейка. Прискорення Джейка більше, ніж у Маді. Маді та Джейк мають однакове ненульове прискорення.
Рух у двох вимірах
Використання векторів для опису руху у двох вимірах
Ми можемо вказати розташування об’єкта його координатами, і ми можемо описати будь-яке переміщення вектором. Спочатку розглянемо випадок руху об’єкта з постійною швидкістю в певному напрямку. Ми можемо вказати положення об’єкта в будь-який момент часу, , використовуючи його вектор положення, , який є функцією часу. Вектор положення - це вектор, який йде від початку системи координат до положення об’єкта. Можна описати компоненти вектора положення та незалежними функціями, і , які відповідають і координатам об’єкта в момент часу відповідно:
Припустимо, що за період часу об’єкт переходить з положення, описаного вектором положення , в положення, описане вектором положення , як показано на Зображенні 4.1.
Ми можемо визначити вектор переміщення, , і за аналогією з одновимірним випадком ми можемо визначити середній вектор швидкості як:
Середній вектор швидкості матиме той самий напрямок, що і , оскільки це вектор переміщення, поділений на скаляр (). Величина вектора швидкості, яку ми називаємо «модулем швидкості», буде пропорційна довжині вектора переміщення. Якщо об’єкт рухається на велику відстань за невеликий проміжок часу, він, таким чином, матиме великий вектор швидкості. Це визначення вектора швидкості, таким чином, має інтуїтивно зрозумілі властивості (спрямований у напрямку руху, більший для швидших об’єктів).
Наприклад, якщо об’єкт перейшов з позиції у позицію за проміжок часу , то середній вектор швидкості задається формулою:
Тобто компоненти і середнього вектора швидкості можна знайти, визначивши середню швидкість окремо в кожному напрямку. Наприклад, відповідає середній швидкості в напрямку , і може вважатися незалежною від швидкості в напрямку , . Величина середнього вектора швидкості (тобто середній модуль швидкості), задається наступним чином:
де - модуль вектора переміщення. Таким чином, середня швидкість визначається пройденою відстанню, поділеною на час, необхідний для подолання цієї відстані, за аналогією з одновимірним випадком.
Лама пробігає полем із положення у положення за час , як виміряв Марсель, фермер, що стоїть у початку декартової системи координат. Яка середня швидкість лами?
1 m/s 5 m/s 10 m/s 15 m/s Якщо швидкість об’єкта не є сталою, то ми визначаємо вектор миттєвої швидкості, беручи границю :
що дає нам похідну за часом вектора положення (в одному вимірі це була похідна за часом положення). Записуючи компоненти вектора положення як функції і , миттєва швидкість стає:
де, знову ж таки, ми знаходимо, що компоненти вектора швидкості - це просто швидкості в напрямку і . Це означає, що ми можемо розглядати рух у двох вимірах як два одновимірних рухи: рух вздовж та окремий рух вздовж . Це підкреслює корисність векторної нотації, яка дозволяє нам використовувати одне векторне рівняння () для представлення двох рівнянь (одного для і одного для ).
Аналогічно, вектор прискорення задається наступним чином:
Якщо об’єкт знаходиться в положенні із вектором швидкості в момент часу , і має постійний вектор прискоренняДе постійний вектор означає, що як величина, так і напрямок є постійними в часі., , то вектор швидкості в якийсь пізніший час , , задається наступним чином:
Або, якщо ми явно випишемо компоненти:
їх можна розглядати як два незалежних рівняння для компонент вектора швидкості:
що є тим самим рівнянням, яке ми мали для одновимірної кінематики, але для кожної координати. Вектор положення задається:
з компонентами:
це знову показує, що двовимірний рух можна розглядати як окремі та незалежні рухи у кожному із напрямків.
Об’єкт починає рух із початку системи координат в момент часу , з початковим вектором швидкості . Прискорення в напрямку дорівнює , а в напрямку .
Напишіть рівняння для вектора положення як функції часу. Визначте положення об’єкта у момент . Побудуйте траєкторію об’єкта протягом перших 5 s руху.
1) Ми можемо розглядати рух у напрямку та окремо. В напрямку прискорення дорівнює 0, і, таким чином, позиція задається наступним чином:
В напрямку маємо постійне прискорення, тому положення задається формулою:
Таким чином, вектор положення як функцію часу можна записати у вигляді:
2) Підставляння у наведене вище рівняння дає:
3) Ми можемо побудувати траєкторію за допомогою python, як на Зображенні 4.2.
Як бачимо, траєкторія є параболою і відповідає тому, що ви отримаєте при киданні об’єкта з початковою швидкістю із вертикальною (позитивним ) та горизонтальною (позитивним ) компонентами. Якщо подивитеся тільки на вісь , ви побачите, що об’єкт спочатку йде вгору, а потім повертається вниз. Це саме те, що відбувається, коли ви кидаєте м’яч вгору, незалежно від того, чи рухається об’єкт у напрямку . В напрямку об’єкт просто рухається з постійною швидкістю. Точки на графіку малюються для однакових часових проміжків (час між кожною точкою, , є постійним). Якщо подивитеся на відстань між точками, спроєктованими на вісь , ви побачите, що всі вони рівновіддалені, тобто вздовж рух відповідає руху об’єкта з постійною швидкістю. У прикладі, який вектор швидкості у самому верху параболи на зображенні 4.2?
Жоден з наведених. Мавпа висить на гілці дерева, і ви хочете нагодувати її, кинувши банан (Зображення 4.3). Ви знаєте, що мавпа легко лякається й відпустить гілку дерева, як тільки кинете банан. Мавпа знаходиться на горизонтальній відстані і висоті від точки, з якої ви відпускаєте банан під час кидка. Під яким кутом відносно горизонталі ви маєте кинути банан, щоб він потрапив у мавпу?
Ця задача вимагає від нас знайти такий кут між початковим вектором швидкості банана і горизонталлю, щоб банан вдарив мавпу. Цей кут задається горизонтальною () та вертикальною () компонентами початкового вектора швидкості банана:
Для того щоб банан потрапив у мавпу, банан і мавпа мають бути в одному місці в один і той же момент часу . Наш підхід буде наступним: почнемо з пошуку рівнянь, які описують і положення мавпи й банана. Потім ми використаємо нашу умову для успішного “попадання”, аби знайти співвідношення (), потрібне для кидка, і використаємо це співвідношення, щоб знайти .
Спочатку визначимо систему координат. Ми обираємо початок відліку там, де банан випускається. Ми приймаємо у вертикальному напрямку (додатним вгору) і в горизонтальному напрямку (додатним у напрямку до мавпи), як показано на Зображенні 4.3.
Ми розглядаємо незалежно та компоненти векторів швидкості й положення банана і мавпи. Рух мавпи має лише вертикальну компоненту. Компонента прискорення мавпи — це прискорення через гравітацію, , яке є від’ємним, оскільки гравітація створює прискорення у від’ємному напрямку . Компонента початкового положення мавпи — , а компонента її початкової швидкості — . Компонента позиції мавпи як функції часу, , задається формулою:
Горизонтальне положення мавпи є постійним і дорівнює .
Рух банана має як , так і компоненти. В напрямку прискорення немає, тому компонента швидкості банана дорівнює і є постійною. Ми визначили початкову координату банана як , тому позиція банана як функція часу, , визначається наступним чином:
Ми визначили початкову позицію банана як . Таким чином, положення банана як функція часу, , може бути описане наступним чином:
де це компонента початкової швидкості банана, а це компонента прискорення банана (через силу тяжіння). Тепер, коли в нас є рівняння, які описують положення як банана, так і мавпи, ми можемо використати нашу умову, щоб банан і мавпа знаходилися в одному положенні в один і той же час. Для того щоб мавпа і банан були в одному положенні, нам потрібно і в якийсь момент .
Прирівнювання наших рівнянь і одне одному дає:
І прирівнювання до дає:
Ми можемо просто поділити одне рівняння на інше, аби знайти:
Ми отримали співвідношення, яке шукали, тому тепер ми знаємо, що
Це дещо дивовижний результат, оскільки він означає, що потрібно лише кинути банан у бік мавпи (тобто прицілитися в мавпу, і кинути!). Тобто, незалежно від того, як сильно ви кидаєте банан, ви завжди потрапите у мавпу, якщо правильно прицілитеся. Якщо ви кинете банан сильніше, вдарите мавпу вище на траєкторії. Якщо у мавпи немає землі для зіткнення, ви можете кидати банан так повільно, як вам схочеться, і він в кінцевому підсумку наздожене мавпу, коли досягне .
Відносний рух
У попередньому розділі ми розглянули, як перетворити опис руху з однієї системи відліку в іншу. Пригадайте одновимірну ситуацію, коли ми описали положення об’єкта, , використовуючи вісь як . Припустимо, що система відліку, , рухається з постійною швидкістю, , відносно другої системи відліку, . Ми виявили, що положення об’єкта в системі відліку описується як:
якщо початки відліку двох систем збігаються при . Рівняння вище просто стверджує, що відстань об’єкта до початку координат є сумою відстані від початку координат до початку координат та відстані від початку координат до об’єкта.
У двох вимірах ми діємо точно так само, але використовуємо вектори:
де - положення об’єкта, описане в системі відліку , - вектор швидкості, що описує рух початку системи координат відносно системи координат , а - положення об’єкта в системі координат . Ми припустили, що початки двох систем координат збігаються при , і що осі систем координат паралельні (вісь паралельна і паралельна ).
Зауважте, що швидкість об’єкта в системі знаходять шляхом додавання швидкості відносно та швидкості об’єкта в системі ():
Як приклад розглянемо ситуацію, проілюстровану на Зображенні 4.4. Брайс знаходиться на човні біля берега Ніцци, з системою координат , і описує положення човна, що перевозить Алісу. Він описує положення Аліси як у системі координат . Ігор знаходиться на березі й також хоче описати положення Аліси, використовуючи роботу, виконану Брайсом. Ігор бачить у своїй системі координат , як човен Брайса рухається зі швидкістю . Для того, щоб знайти вектор положення Аліси , він додає вектор від свого початку координат до початку координат Брайса () і вектор від початку координат Брайса до Аліси .
Виписуючи це по координатах, маємо:
і для швидкостей:
Ви перебуваєте на човні й перетинаєте річку, що тече на північ, зі східного берега на західний. Ви спрямовуєте свій човен у західному напрямку і пливете. Хлоя спостерігає з берега, як ваш човен перепливає річку. В якому напрямку вона вимірює ваш вектор швидкості?
У північному напрямку У західному напрямку. Поєднання північного та західного напрямків.
Рух у трьох вимірах
Великим викликом було розширити наш опис руху з одного виміру до двох. Тепер, коли ми знаємо як користуватися векторами, додавання третього виміру стає тривіальним. У трьох вимірах ми описуємо положення точки за допомогою трьох координат, тому всі вектори просто мають три незалежні компоненти, але опрацьовуються точно так само, як і у двовимірному випадку. Тепер положення об’єкта описується трьома незалежними функціями, , , , які утворюють три компоненти вектора положення :
Вектор швидкості тепер має три компоненти і визначається аналогічно двовимірному випадку:
і прискорення визначається аналогічним чином:
Зокрема, якщо об’єкт має постійне прискорення, , і починає рух у із позиції зі швидкістю , то його вектор швидкості задається формулою:
і вектор положення задається:
де ми знову бачимо, що написання одного векторного рівняння (наприклад, ) насправді є лише способом написання трьох незалежних рівнянь для кожної компоненти.