Множина́ Віта́лі — історично перший приклад множини, що не має міри Лебега (невимірна множина). Цей приклад опублікував 1905 року італійський математик Джузепе Віталі.
Історія 1902 року Анрі Лебег у своїх лекціях «Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives», сформулював теорію міри і гадав, що вона може бути застосована до довільної обмеженої множини. Але поява контрприкладів розвіяла ці сподівання. Побудова таких невимірних множин завжди спирається на аксіому вибору.
Побудова Введемо відношення еквівалентності на відрізку : (дійсні числа еквівалентні, якщо їх різниця є раціональним числом). Виберемо із кожного класу еквівалентності по одному елементу (тут ми користуємося аксіомою вибору), отримана множина буде невимірною.
Справді, якщо зсунути множину зліченну кількість разів на всі раціональні числа з відрізка , то об'єднання таких множин буде включати весь відрізок і саме буде включене у відрізок .
Припустимо, що множина має міру Лебега. Тоді можливі 2 випадки: Міра дорівнює нулю. Тоді міра відрізка (як зліченного об'єднання множин міри нуль) теж дорівнює нулю, що суперечить визначенню міри. Міра більша нуля. Тоді, аналогічно, міра відрізка буде нескінченною, що знову суперечить визначенню.
В обох випадках приходимо до суперечності. Отже, множина Віталі не має міри Лебега.
Джерела