Змішаний об'єм в опуклій геометрії — невід'ємне число, яке співставляється набору з опуклих тіл в -мірному Евклідовому просторі. Число залежить від розмірів тіл та їх взаємного положення.
Змішаний об'єм набору зазвичай позначається як .
Визначення Нехай набір з опуклих тіл в і додатних дійсних чисел. Позначимо через об'єм тіла
де ""означає суму Мінковського і
Функція є однорідним многочленом степені . Коефіцієнт цього многочлена при за визначенням дорівнює .
Зауважимо, що
Властивості Для довільних невід'ємних чисел ,
Змішаний об'єм інваріантний відносно паралельних переміщень тіл в наборі. Змішаний об'єм монотонний з включенням тіл. Змішаний об'єм неперервний відносно метрики Гаусдорфа. Змішаний об'єм невід'ємний. Більше того, тільки тоді, коли в кожному можна провести по відрізку так, щоб ці відрізки були лінійно незалежні. Для невід'ємного цілого змішаний об'єм копій опуклого тіл в і копій одиничної кулі виражається через -у середню поперечну міру . Зокрема Змішаний об'єм набору з копій дорівнює звичайному об'єму . Змішаний об'єм набору з копій і одиничної кулі дорівнює площі поверхні . Типове число рішень системи поліноміальних рівнянь дорівнює змішаному об'єму . нерівність Мінковського
нерівність Александрова — Фенхеля
Примітки