Гомоморфізмом кілець називається деяке відображення одного кільця в інше, що узгоджується з операціями додавання і множення.

Визначення

Гомоморфізм кілець Нехай і — два кільця.

Гомоморфізмом кілець і називається відображення для якого виконуються умови

Якщо і мають одиничні елементи, то, як правило, додатково вимагається — одиничний елемент відображається на елемент

Пов'язані визначення Образом гомоморфізма називається множина

Образ гомоморфізма є підкільцем кільця .

Ядром гомоморфізма називається множина , де позначає нуль кільця . Ядро гомоморфізма є ідеалом кільця . Для комутативних кілець всі ідеали є ядрами деяких гомоморфізмів.

Мономорфізмом кілець називається ін'єктивний гомоморфізм. Гомоморфізм є мономорфізмом кілець тоді і тільки тоді, коли , де позначає нуль кільця .

Епіморфізмом кілець називається гомоморфізм , що є сюр'єктивним відображенням.

Гомоморфізм називається ізоморфізмом кілець тоді і тільки тоді, коли є бієктивним відображенням, тобто одночасно мономорфізмом і епіморфізмом. Для нього тоді існує обернене відображення , що теж є ізоморфізмом кілець. Кільця і називаються ізоморфними, якщо існує ізоморфізм .

Гомоморфізм кільця R в себе називається ендоморфізмом кільця. Якщо при цьому є ізоморфізмом, тоді цей гомоморфізм називається автоморфізмом.

Властивості тобто нульовий елемент з кільця відображається на нульовий елемент в Для всіх елементів виконується . Ця рівність випливає з того, що: Якщо існує гомоморфізм то характеристика кільця S ділить характеристику кільця R. Якщо R і S є комутативними кільцями і P є простим ідеалом кільця S, то є простим ідеалом кільця R. Образ простого ідеалу при гомоморфізмі в загальному випадку не є навіть ідеалом. Композиція двох гомоморфізмів кілець є гомоморфізмом кілець. Одиничне відображення є гомоморфізмом кілець. Тому всі кільця разом з гомоморфізмами кілець утворюють категорію — категорію кілець. Комутативні кільця разом із їх гомоморфізмами утворюють підкатегорію категорії кілець.

Приклади Комплексне спряження є прикладом автоморфізму кільця. Відображення визначене як є епіморфізмом кілець. Для деякого елемента можна визначити автоморфізм . Для кільця функцій визначених в якійсь множині із значеннями в множині дійсних чисел, вибравши довільну точку із області визначення можна отримати відображення, що кожній функції ставить у відповідність її значення у вибраній точці. Дане відображення буде гомоморфізмом з кільця функцій в поле дійсних чисел.

Канонічний гомоморфізм Для довільного кільця і його ідеала відображення визначене як є епіморфізмом. Таке відображення називається канонічним гомоморфізмом кільця на фактор-кільце .

Якщо є епіморфізмом кілець , то є ізоморфним фактор-кільцю (ізоморфізмом є відображення визначене як ) і , де є канонічним гомоморфізмом.

Див. також Гомоморфізм Кільце (алгебра)

Джерела