Вільний модуль — модуль M над кільцем R (як правило, вважається асоціативним з одиничним елементом), якщо він або є нульовим, або має базис. У випадку коли R є полем довільний векторний простір є вільним модулем. Для загальних кілець натомість існують модулі, що не є вільними.
Означення
Вільним модулем називається модуль, що має базис тобто множину , для якої виконуються умови: є породжуючою множиною ; тобто кожен елемент є скінченною сумою де а ; є лінійно незалежною, тобто для різних елементів що належать тоді і лише тоді, коли (де є нульовим елементом в а є нульовим елементом в ).
Властивості Вільний модуль може мати два скінченних базиси, що складаються з різної кількості елементів. Так як в цьому випадку модуль M буде ізоморфним як Rm так і Rn, де m ≠ n, то цей випадок можливий тоді і тільки тоді, коли над кільцем R існують матриці A розмірності m×n і B розмірності n×m, такі, що AB = Im і BA = In, де Im і In — одиничні квадратні матриці. Зрозуміло, що в разі, коли кільце R допускає гомоморфізм в тіло (це буде так, наприклад, у випадку комутативних кілець і кілець Нетер), дана ситуація неможлива через властивості рангу матриці. У цьому випадку число елементів базису називається рангом модуля M. Для векторного простору ранг простору є його розмірністю. Якщо модуль має нескінченний базис, то всі такі базиси мають однакову потужність. Скінченнопороджений модуль є вільним тоді і тільки тоді коли він є плоским. Якщо (Mi)i є сім'єю вільних модулів над R, то їх пряма сума ⊕i Mi є вільним модулем над R. Для вільних модулів M і N над кільцем R їх тензорний добуток M ⊗ N , множина лінійних відображень HomR(M, N) та двоїстий модуль HomR(M, R) є вільними модулями.
Приклади Нульовий модуль (тобто модуль єдиним елементом якого є нуль) прийнято вважати вільним модулем з базисом рівним пустій множині. Саме кільце R, що розглядається як лівий модуль над собою, очевидно має базис, що складається з єдиного одиничного елемента кільця, а кожен модуль з скінченним базисом з n елементів є ізоморфним прямій сумі R n кілець R, що розглядаються як модулі. Будь-яка абелева група є модулем над кільцем цілих чисел Вільні абелеві групи є прикладом вільних модулів. Для , -модуль не є вільним. -модуль є модулем без кручень але не є вільним. Кільце многочленів над кільцем є вільним модулем збазисом . Для довільної множини , можна побудувати вільний -модуль, базисом якого є множина . Він називається модулем формальних лінійних комбінацій елементів , або вільним модулем над і позначається як . Для скінченної підмножини елементів з , формальною лінійною комбінацією елементів називається вираз , де всі належать кільцю . Якщо деякий дорівнює нулю, формальна лінійна комбінація вважається рівною комбінації, що отримується вилученням цього доданку. Множина формальних лінійних комбінацій має природну структуру модуля, для якого множина є базисом.
Універсальна властивість Відображення включення задовольняє таку універсальну властивість: для довільного відображення з множини в -модуль , існує єдиний гомоморфізм модулів , для якого . Ця властивість характеризує з точністю до ізоморфізму. Відображення можна продовжити до функтора з категорії множин в категорію -модулів.
Узагальнення Деякі теореми про вільні модулі залишаються вірними і для більш широких класів кілець. Проєктивні модулі — за визначенням є прямими доданками деякого вільного модуля, тому для доведення твердження про проєктивні модулі можна розглянути його вкладення у вільний модуль і скористатися базисом. Ще більш широкими узагальненням є плоскі модулі, які можна уявити як індуктивна границя скінченнопороджених вільних модулів, і модулі без кручень.
Див. також Вільна абелева група Плоский модуль Проєктивний модуль Скрут (алгебра)
Література