Плюрісубгармнонічна функція — дійснозначна функція , від комплексних змінних в області комплексного простору , , яка задовольняє таким умовам: є напівнеперервною зверху усюди в ; є субгармонічною функцією змінної в кожній зв'язаній компоненті відкритої множини для будь-яких фіксованих точок , .
Функція називається плюрісупергармонічною функцією, якщо є плюрісубгармнонічною функцією.
Приклади , при , де — голоморфна функція в .
Властивості Плюрісубгармонічні функції є субгармонічними, але обернене твердження є вірним лише при Для того щоб напівнеперервна зверху в області D функція u була плюрісубгармонічною, необхідно і достатньо, щоб для будь-яких фіксованих, існувало число таке, що при виконується нерівність:
Для функцій що належать класу є плюрігармонічною в D тоді і тільки тоді, коли ермітова форма:
є невід'ємно означеною для всіх
Крім загальних властивостей субгармонічних функцій, для плюрісубгармонічних функцій справедливі наступні: є плюрісубгармонічною функцією в області тоді і тільки тоді, коли — плюрісубгармонічна функція в околі кожної точки ; Лінійна комбінація плюрісубгармонічних функцій з додатними коефіцієнтами є плюрісубгармонічною функцією; Границі рівномірно збіжної і монотонно спадної послідовностей плюрісубгармонічних функцій є плюрісубгармонічними; Для будь-якої точки середнє значення
по сфері радіуса , є зростаючою функцією по , опуклою щодо на відрізку , якщо куля повністю розміщена в ; При голоморфних відображеннях плюрісубгармонічна функція переходить в плюрісубгармонічну; Якщо — неперервна плюрісубгармонічна функція в області , — замкнута зв'язана аналітична підмножина і звуження досягає максимуму на , то на ; Функція є плюрісубгармонічною в області D, тоді і тільки тоді, коли вона є границею спадної послідовності функцій , де і для відповідних областей виконуються включення і також
Див. також Плюрігармонічна функція Субгармонічна функція
Література . . . .