j-інваріант Кляйна або j-функція Кляйна — функція комплексної змінної τ, що є модулярною функцією для групи визначеною на верхній комплексній півплощині. Вона є єдиною такою голоморфною на півплощині функцією, що має простий полюс в каспі на безмежності й значення
Раціональні функції від теж є модулярними функціями й всі модулярні функції можуть бути записані в такий спосіб. Історично -інваріант вивчався як параметризація еліптичних кривих над полем , але також він має несподіваний зв'язок з симетріями групи Монстр.
Означення
Мотивацією для означення -інваріанта є вивчення класів ізоморфності еліптичних кривих. Кожна еліптична крива над полем є комплексним тором і тому її можна ідентифікувати з ґраткою порядку 2, тобто двовимірною ґраткою в . Як виявляється множення ґратки на комплексне число, що відповідає повороту і розтягуванню ґратки, не змінює клас ізоморфності еліптичних кривих і тому можна розглядати лише ґратки породжені і деяким в (де — верхня комплексна півплощина). Навпаки, якщо визначити
то ця ґратка визначає еліптичну криву над задану рівнянням .
-інваріант за означенням рівний
де модулярний дискримінант рівний
є модулярною формою ваги, — модулярною формою ваги 4, тож її 3-й степінь теж є модулярною формою ваги 12. Тому їх частка, а відповідно і функція , є модулярною функцією інваріантною щодо дії групи . є бієкцією між класами ізоморфності еліптичних кривих над і комплексними числами.
Фундаментальний регіон
Перетворення і разом породжують групу, що називається модулярною групою. Вибравши необхідне перетворення з цієї групи,
для будь-якого можна знайти значення змінної з тим самим значенням функції , що лежить в фундаментальному регіоні для , тобто підмножини комплексних чисел, що задовольняють умови:
Функція на цьому регіоні приймає кожне значення з точно один раз. Тобто для кожного в , є єдине число τ в фундаментальному регіоні для якого .
Як поверхня Рімана, фундаментальний регіон має рід 0, і всі множина модулярних функцій рівна множині раціональних функцій від тобто .
Ряди Фур'є Багато важливих властивостей пов'язані з -розкладом (рядом Фур'є), тобто розкладом в ряд Лорана щодо змінної , що починається як:
Зокрема звідси видно, що оскільки має простий полюс в каспі, то -розклад не має членів степенів нижчих, ніж .
Асимптотично коефіцієнти біля рівні
,
що випливає з використання методу Харді — Літлвуда.
Альтернативні означення Справедливою є формула
де і є модулярною ламбда-функцією
часткою тета-функцій Якобі , і квадратом еліптичного модуля .Chandrasekharan (1985) p.108 Значення не змінюється коли λ замінити на якісь значення з множини:
Означення за допомогою ета-функцій
Нехай і тета-функція Якобі визначена як
і подібно інші тета-функції Якобі. Нехай:
Тоді і можна записати
де η(τ) — ета функція Дедекінда. Тоді j(τ) можна записати у формі зручній для обчислень через швидку збіжність:
Алгебраїчне означення Вище означалася як функція комплексної змінної. Проте як інваріант класів ізоморфності еліптичних кривих, її можна визначити алгебраїчно. Нехай
є еліптичною кривою над довільним полем. Позначимо
і
позначення для дискримінпіпіанта
Якщо поле над яким визначена крива має характеристику не рівну 2 чи 3,означення можна переписати як
Окремі значення Нижче наведені значення в окремих точках функції
Кілька спеціальних значень були розраховані у 2014 році:
для значень нижче використані позначення,
Ще чотири спеціальні значення наведені у вигляді двох комплексно-сполучених пар:
Див. також Еліптична крива Еліптична функція Квантовий інваріант Модулярна форма Monstrous moonshine
Примітки
Література .
.