В лінійній алгебрі і пов'язаних розділах математики збалансованою множиною (також врівноваженою множиною, заокругленою множиною) у векторному просторі над полем K з абсолютним значенням ) називається множина S така що для всіх скалярів з
де
Збалансованою оболонкою множини S називається найменша збалансована множина, що містить S. Вона є рівною перетину всіх збалансованих множин, що містять S.
Приклади Відкриті і замкнуті кулі з центром в точці 0 в Нормований простір є збалансованими множинами. Будь-який підпростір векторного простору є збалансованою множиною. Прямий добуток збалансованих множин є збалансованою множиною в добутку векторних просторів (над полем K). Для як 1-вимірного векторного простору збалансованими множинами є , порожня множина, відкриті і замкнуті круги з центром в точці 0. Натомість, у двовимірному дійсному евклідовому просторі є набагато більше збалансованих множин: наприклад будь-яка пряма, що проходить через початок координат або відрізок з середньою точкою в початку координат. Якщо є напівнормою на векторному просторі тоді для будь-якої константи множина
є збалансованою.
Властивості
Об'єднання і перетин збалансованих множин є збалансованою множиною. Замикання збалансованої множини є збалансованою множиною. Об'єднання і внутрішніх точок збалансованої множини є збалансованою множиною. Множина є абсолютно опуклою тоді і тільки тоді коли вона є опуклою і збалансованою.
Література