Границя в теорії категорій — поняття, що узагальнює властивості таких конструкцій, як добуток, розшарований добуток і проективна границя. Двоїстим до границі є поняття кограниці, що узагальнює властивості таких конструкцій, як диз'юнктне об'єднання, кодобуток, розшарований кодобуток і індуктивна границя.

Означення

Поняття границі і кограниці вводяться за допомогою діаграм. Діаграмою типу в категорії називається функтор: .

Найбільший інтерес представляє випадок, коли є малою або скінченною категорією. У цьому випадку діаграма називається малою або скінченною.

Категорію можна сприймати як індексну, об'єкти якої індексують об'єкти категорії подібно до того, як для послідовностей натуральні числа індексують елементи деякої множини. У випадку категорій проте у індексній категорії також задані деякі морфізми між об'єктами, які функтор переводить у морфізми між індексованими об'єктами.

Нехай — діаграма типу в категорії . Конусом у називається об'єкт в разом з сім'єю морфізмів , індексованих об'єктами діаграми , такий що для будь-якого морфізма також .

Границею діаграми називається конус в такий, що для будь-якого конуса у існує єдиний морфізм , такий що для всіх в .

Аналогічним чином дається означення поняття кограниці — потрібно лише обернути всі стрілки у комутативній діаграмі. Більш детально:

Коконус діаграми — об'єкт категорії разом з сім'єю морфізмів:

для кожного в , такий, що для будь-якого морфізма виконується .

Кограницею діаграми називається коконус такий , що для будь-якого іншого коконуса існує єдиний морфізм , такий, що для всіх в .

Як і будь-які універсальні об'єкти, границі і кограниці не завжди існують, але якщо існують, то визначені з точністю до ізоморфізму.

Приклади границь У прикладах розглядається границя діаграми . Термінальні об'єкти. Якщо — порожня діаграма, в існує тільки одна діаграма типу — порожня. Конус в порожню діаграму не може складатися більш ніж з одного елемента. Границею є об'єкт, в який існує єдиний морфізм з будь-якого об'єкта, тобто термінальний об'єкт. Добутки. Тут — дискретна категорія (без неодиничних морфізмів), діаграмою типу є сім'я об'єктів і границя — їх добуток разом з проєкціями на множники. Вирівнювач. Тут — категорія з двох об'єктів і двох паралельних морфізмів, тоді діаграмою типу є два паралельних морфізма у в і границя їх вирівнювач. Ядро — окремий випадок вирівнювача, де один з морфізмів є нульовим морфізмом. Розшарований добуток. Тут складається з трьох об'єктів і морфізмів з першого і другого об'єктів у третій. Якщо — категорія з одного елемента і тотожного морфізма, то границею є той об'єкт, в який відображається . Топологічні границі. Границі функцій — окремий випадок границь фільтрів, які є пов'язані з категорними границями. В заданому топологічному просторі розглянемо — множину фільтрів на , точку — фільтр околів — деякий конкретний фільтр і — множину фільтрів, що є тоншими, ніж і сходяться до . На фільтрах можна задати структуру категорії, сказавши, що стрілка існує тоді і тільки тоді, коли . Вкладення стає функтором і виконується твердження: — топологічна границя тоді і тільки тоді, коли — категорна границя .

Властивості

Існування Категорія має границі типу , якщо будь-яка діаграма типу має границю.

Категорія називається повною, якщо вона має границю для будь-якої малої діаграми (тобто діаграми, елементи якої утворюють множину). Аналогічно визначаються скінченно повні і коповні категорії.

Наприклад категорія множин Set є повною. Границею діаграми є множина:

Згідно теореми про існування границь, якщо у категорії C існують усі вирівнювачі і всі добутки проіндексовані Ob(J) і Hom(J), тоді у C існують усі границі типу J. Границя діаграми F : J → C може бути записана як вирівнювання двох морфізмів

заданих у компонентній формі як

Справедливою також є двоїста теорема про існування кограниць у термінах ковирівнювачів і кограниць.

Універсальна властивість Розглянемо категорію з діаграмою . Категорію функторів можна вважати категорією діаграм типу в . Діагональний функтор — функтор, що відображає елемент категорії в постійний функтор , що відображає все в .

Для даної діаграми (що розглядається як об'єкт ), натуральне перетворення (що розглядається як морфізм категорії ) — те ж саме, що конус з в . Компоненти — морфізми . Означення границь і кограниць можна переписати як: границя — універсальна стрілка з в . кограниця — універсальна стрілка з в .

Функтори і границі Функтор індукує відображення з в .

зберігає границі в , якщо — границя , коли — границя . Функтор зберігає всі границі типу , якщо він зберігає границі всіх діаграм . Наприклад, можна говорити, що зберігає добутки, вирівнювачі і т. д.

Неперервний функтор — функтор, який зберігає всі малі границі. Аналогічні означення вводяться для кограниць.

Важливою властивістю спряжених функторів є те, що кожен правий спряжений функтор є неперервним і кожен лівий спряжений функтор є конеперервним.

Функтор піднімає границі для діаграми якщо з того, що — границя випливає, що існує границя в , така що . Функтор піднімає границі типу , якщо він піднімає границі для всіх діаграм типу . Існують двоїсті означення для кограниць.

Примітки

Див. також Добуток (теорія категорій) Індуктивна границя Проективна границя Розшарований добуток

Література Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories (4.2MB PDF). John Wiley & Sons. .