Розшарований добуток (також декартів квадрат) — теоретико-категорне поняття, яке можна задати як границю діаграми, що складається з двох морфізмів: Розшарований добуток позначається

Двоїстим поняттям є розшарований кодобуток.

Універсальна властивість Нехай в категорії дана пара морфізмів і

Розшарованим добутком і над називається об'єкт разом з морфізмами для яких діаграма нижче є комутативною:

Окрім того, розшарований добуток має бути універсальним об'єктом з такою властивістю: для будь-якого об'єкта з парою морфізмів які разом із утворюють комутативний квадрат, існує єдиний морфізм такий що наведена нижче діаграма є комутативною:

Внутрішній квадрат цієї діаграми, утворений морфізмами називається також декартовим (або коуніверсальним) квадратом для пари морфізмів і

Як і інші об'єкти, задані за допомогою універсальних властивостей, розшарований добуток не обов'язково існує, але якщо існує, то є визначеним з точністю до ізоморфізму.

Приклади

В категорії множин розшарованим добутком множин і з відображеннями і називається множина

разом з природними проєкціями на компоненти.

Також Розшарований добуток у можна описувати двома асиметричними способами:

Аналогічним чином визначається розшарований добуток в категорії комутативних кілець з тою лише специфікою, що всі відображення у цьому випадку є гомоморфізмами кілець.

Прообраз підмножини теж можна інтерпретувати як розшарований добуток. Нехай є деяке відображення і підмножина . Нехай позначає відображення включення . Тоді розшароване відображення і (у категорії ) можна інтерпретувати, як прообраз разом із його включенням у

і обмеженням відображення на

.

Якщо A і B є підмножинами множини C, то розшарованим добутком відображень включення є перетин множин із відповідними відображеннями включення у A і B.

Властивості

У категорії із термінальним об'єктом , розшарований добуток є звичайним добутком .Adámek, p. 197. Якщо у наведених в означенні діаграмах є мономорфізмом то теж є мономорфізмом. Також якщо є мономорфізмом, то мономорфізмом є також і . Попереднє твердження є також справедливим і для ізоморфізмів, зокрема для будь-якого морфізму (де є одиничним морфізмом). У абелевих категоріях розшарований добуток завжди існує і має властивість збереження ядра, а саме: якщо

є відповідною комутативною діаграмою і є ізоморфізмом, то ізоморфізмом є . Звідси можна отримати комутативну діаграму, де всі рядки і стовпці є точними:

Існує натуральний ізоморфізм (A×CB)×B D ≅ A×CD. У явному вигляді: якщо задано морфізми f : A → C, g : B → C і h : D → B і розшарований добуток f і g є заданий морфізмами r : P → A і s : P → B, і розшарований добуток s і h є заданий морфізмами t : Q → P і u : Q → D , тоді розшарований добуток f і gh є заданий морфізмами rt : Q → A і u : Q → D.

Графічно це можна подати так: з двох комутативних діаграм розшарованих добутків, що розташовані поруч і мають спільний морфізм, утворюється комутативна діаграма розшарованого добутку, якщо ігнорувати спільний морфізм. Приклад цього на комутативній діаграмі:

Примітки

Див. також

Добуток (теорія категорій)

Література

Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories (4.2MB PDF). John Wiley & Sons. .